这次是用Qt实现 在线课程
GAMES102 几何建模与处理基础 ---- 刘利刚（我的男神2 ， 授业解惑 放以前是要享万家香火的）
的作业1
课程链接：
http://staff.ustc.edu.cn/~lgliu/Courses/GAMES102_2020/default.html
作业内容：
Input: 已知平面内 n 个点 Pj(xj,yj),j=1,2,…,n。
output: 拟合这些点的函数
拟合方法：
（1）函数插值：基于幂基函数的多项式插值，基于gauss基函数的线性拟合，拉格朗日插值。特点：曲线经过所有输入点
（2）函数拟合：最小二乘法，岭回归。特点：曲线逼近所有输入点
以下部分内容引用他人优秀报告:
http://staff.ustc.edu.cn/~lgliu/Courses/GAMES102_2020/Homework/HW1-report.rar （可下载，含多人报告与不同平台的代码实现）
Tip1：详细代码请下载源代码看注释，博客以数学原理解析为主
Tip2: 用外库Eigen来解矩阵
Tip3: 本节作业分为两节，(上)写多项式插值，(下)写多项式拟合，(下)链接
程序源代码：https://pan.baidu.com/s/1xcMtDS31XkFa9wL28AUv7g 提取码：cqli
编译环境：Qt5.9.4, Eigen
编译器：Desktop Qt5.9.4 MSVC2017 64bit
IDE：QtCreator
一，程序简介
在白色画布上，用鼠标左键单击采样输入点，选择拟合选项后，点击“Fitting”按钮拟合输入点。点击“Clear”按钮对画布进行清除。
二，数学推导
数值分析（第5版）-李庆杨 p22页，对插值问题的定义就很nice。我自己有一个通俗的理解，如果在[a， b]内曲线连续可导，则这个曲线可以由不用的基函数进行拟合，这个基函数空间可以是幂函数，RBF函数，三角函数等等。
2.1多项式插值的定义
2.1.1 幂基函数
课本的下一页，给出了多项式插值的定义，换成程序语言的介绍，只要输入(n+1)个x值不同的点，就能通过幂基函数的拟合，得到拟合曲线。这里是因为 y = f(x) 如果存在两个点的x值相同，但y值不同，矩阵就会产生歧义。所以要求x值不同。对x值的限定这个问题可以通过后续的曲线参数化解决，令x = f(t), y = p(t)，将x与y互相孤立即可。
在代码里实际求解时，这里引用优秀报告里常同学的解释：
x0,x1，，，xn是我们输入的n+1个点的x坐标值，y0，，，，yn是对应的y坐标值，因为B是一个范德蒙式，行列式不等于0，可逆。所以直接求解
，
就可以得到多项式函数，接着将x=0到窗口的宽度400代入函数，算出这条曲线的所有点，连线即可。
我们可以明显看出，当输入点n变多时，会导致多项式曲线阶数过高，带来不稳定的震荡。这是因为多项式插值问题式病态的，范德蒙矩阵的条件数随着输入点数n呈指数级增长，矩阵条件数过大，导致矩阵容易病态，就容易过拟合，出现龙格现象，即在两端处波动极大，产生明显的震荡。
2.1.2 Gauss基函数
高斯函数：
几何意义上：
μ： 控制位置
σ：控制支集宽度
这里还是用常同学的解释，我们将简单的幂基函数换为Gauss基函数，通过调整σ的数值，得到的不同拟合曲线。
本质上，径向基函数插值函数的 f(x)，是在每一个输入点上，都放置一个bi*gi(x)，并将所有输入点上的bi*gi(x)加起来进行拟合。如下图，当σ=5，支集宽度过小时，就可以明显看出，f(x)本质是在每个输入点上都放了一个gauss基函数，然后将所有输入点上的函数加起来。
通过Input输入点，G，Y已知，且G满秩可逆，所以
，
将b的各项带入f(x)，则曲线已知，画出其余曲线各点，连线即可。
（1）σ = 50
（2）σ = 20
