分形（Fractal）及分形维数（Fractal dimension）

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图 随着量尺的长度越来越小，测得的海岸线总长度增加。

在数学中，分形维数是几何学中的一个术语，用于提供模式中复杂性细节的合理统计指标。分形图案随其测量的尺度（scale）而变化。它也被扩展为一种模式的空间填充能力的度量，它告诉分形如何在分形维度上以不同的方式缩放，即不必是整数。

“断裂（fractured）”维度的主要思想在数学中有着悠久的历史，但这个术语本身是由 Benoit Mandelbrot 根据他 1967 年关于自相似性的论文提出的，他在论文中讨论了分数维。在那篇论文中，Mandelbrot 引用了 Lewis Fry Richardson 之前的工作，描述了海岸线的测量长度随所用测量棒的长度而变化的反直觉概念。根据这一概念，海岸线的分形维数，量化了测量海岸线所需的缩放测量棒（scaled measuring sticks）的数量如何随着施加在测量尺上的缩放（scale）而变化。分形维数有几种正式的数学定义，它们建立在细节随尺度变化的基本概念之上。

最终，分形维数一词成为曼德尔布罗特本人最习惯使用的短语，以概括他创造的分形一词的含义。经过多年的多次迭代，Mandelbrot 决定使用这种语言：“…在没有迂腐定义的情况下使用分形，将分形维数用作适用于所有变体的通用术语。”

一个重要的例子是科赫雪花的分形维数。它的拓扑维数为 1，但绝不是可修正的：科赫雪花上任意两点之间的曲线长度是无限的。它没有一小块是线状的，而是由无数以不同角度连接的线段组成。可以直观地解释曲线的分形维数，将分形线想象成一个太详细而不是一维的对象，但太简单而不是二维的。因此它的维数最好不是用它通常的拓扑维数 1 来描述，而是用它的分形维数来描述，它通常是一个介于 1 和 2 之间的数字；在科赫雪花的情况下，它大约是 1.2619。

1. 分形介绍

在数学中，分形是包含任意小尺度的详细结构的几何形状，通常具有严格超过拓扑维数的分形维数。许多分形在不同的尺度上看起来很相似，如 Mandelbrot set 的连续放大所示。这种相似模式在越来越小的尺度上的展示称为自相似性（self-similarity），也称为扩展对称性（expanding symmetry）或展开对称性（unfolding symmetry）；如果这种复制在每个尺度上都完全相同，就像在 Menger sponge 中一样，则该形状称为仿射自相似（affine self-similar）。分形几何（Fractal geometry）属于测度论的数学分支。

图 Mandelbrot set：它的边界是一个 Hausdorff dimension 为 2 的分形曲线 图 放大 Mandelbrot set 的边界

分形与有限几何图形的不同之处之一是它们的缩放方式。将填充多边形的边长加倍会使其面积乘以 4，即 2（新边长与旧边长之比）的 2 次方（填充多边形的常规尺寸）。同样，如果填充球体的半径加倍，则其体积会增加 8，即 2（新半径与旧半径之比）的 3 次方（填充球体的常规尺寸）。然而，如果分形的一维长度全部加倍，则分形的空间内容（spatial content）按不一定为整数且通常大于其常规维数的幂缩放。这种幂称为几何对象的分形维数，以区别于常规维数（正式称为拓扑维数）。

在分析上，许多分形无处可微。无限分形曲线可以被认为是与普通线不同的空间蜿蜒曲折——虽然它在拓扑上仍然是一维的，但它的分形维数表明它比普通线更有效地局部填充空间。

从 17 世纪的递归概念开始，分形通过越来越严格的数学处理，在 19 世纪由 Bernard Bolzano、Bernhard Riemann 和 Karl Weierstrass 的开创性工作发展到对连续但不可微分函数的研究，到 20 世纪分形这个词的创造，随后在 20 世纪人们对分形和基于计算机的建模的兴趣迅速增长。

对于分形的概念应该如何正式定义，数学家之间存在一些分歧。Mandelbrot 自己将其总结为“美丽、该死的坚硬、越来越有用。这就是分形。”更正式地说，1982 年 Mandelbrot 将分形定义如下：“根据定义，分形是 Hausdorff–Besicovitch 维数严格超过拓扑维数。”后来，他认为这过于严格，他将定义简化并扩展为：“分形是一种粗糙或零碎的几何形状，可以分成多个部分，每个部分（至少近似）再后来，Mandelbrot 提出“在没有迂腐定义的情况下使用分形，将分形维数用作适用于所有变体的通用术语”。

图 透明亚克力块中的 3D Lichtenberg figure 或“电子树”，通过用电子束照射块创建。

数学家之间的共识是理论分形是无限自相似的迭代和详细的数学结构，其中许多例子已经被制定和研究。分形不仅限于几何图案，还可以描述时间过程。分形在混沌理论领域特别重要，因为它们出现在大多数混沌过程的几何描述中（通常作为吸引子或吸引盆地之间的边界）。

图 一个表现出多重分形缩放（multifractal scaling）的奇怪吸引子。

2. 分形的定义

Mandelbrot 发表的描述几何分形的一个经常被引用的描述是“一个粗糙的或碎片化的几何形状，可以分成多个部分，每个部分（至少大约）是整体的缩小副本”；这通常有帮助但有限。作者不同意分形的确切定义，但通常会详细阐述自相似的基本思想以及分形与它们所嵌入的空间之间的不寻常关系。

一致同意的一点是，分形图案以分形维数为特征，但是尽管这些数字量化了复杂性（即随着尺度的变化而改变细节），但它们既没有唯一地描述也没有指定如何构建特定分形图案的细节。1975 年，Mandelbrot 创造了“分形”一词，用来表示 Hausdorff–Besicovitch dimension 大于其拓扑维数的对象。但是，希尔伯特曲线（Hilbert curve）等空间填充曲线无法满足这一要求。

由于为分形找到一个定义所涉及的麻烦，一些人认为根本不应该严格定义分形。根据 Falconer 的说法，分形应该仅具有以下特征的格式塔一般特征：

• 自相似性，可能包括：

  • 精确自相似（Exact self-similarity）：在所有尺度上都相同，例如 Koch snowflake；
  • 准自相似性（Quasi self-similarity）：在不同尺度下逼近相同的模式；可能包含扭曲和退化形式的整个分形的小副本； 例如，Mandelbrot set 的卫星是整个集的近似值，但不是精确的副本；
  • 统计自相似性（Statistical self-similarity）：随机重复一种模式，以便跨尺度保留数值或统计措施；例如，随机生成的分形，如著名的英国海岸线示例，人们不会期望找到像定义分形（如科赫雪花）的重复单元一样整齐地缩放和重复的片段；
  • 定性自相似性（Qualitative self-similarity）：如时间序列；
  • 多重分形缩放（Multifractal scaling）：以不止一个分形维数或缩放规则为特征

• 任意小尺度的精细或详细结构。这种结构的结果是分形可能具有涌现特性；

• 局部和全局的不规则性，除了递归定义的阶段序列的限制外，不能用传统的欧几里德几何语言轻易描述。 对于分形图案的图像，这已通过诸如“平滑地堆积表面”和“漩涡上的漩涡”等短语表达。

作为一个整体，这些标准构成了排除某些情况的指南，例如那些可能自相似但没有其他典型分形特征的情况。 例如，一条直线是自相似的，但不是分形的，因为它缺乏细节，并且很容易用欧几里德语言描述，而不需要递归。

3. 分形维数介绍

图 一个 32 段二次分形（[quadric fractal](https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal#iterated)）缩放并通过不同大小的框查看。该模式说明了自相似性。该分形的理论分形维数为 5/3 ≈ 1.67；使用分形分析软件，其盒计数（[box counting](https://en.wikipedia.org/wiki/Box_counting)）分析的经验分形维数为 ±1%。

分形维数是通过将其复杂性量化为细节变化与尺度变化的比率来表征分形模式或集合的指标。几种类型的分形维数可以在理论上和经验上进行测量。分形维数用于表征从抽象到实际现象（包括湍流）的范围广泛的物体，河流网络，城市发展，人体生理学，医学，和市场趋势。分数维数（fractional dimension）或分形维数（fractal dimension）的基本概念在数学中有着悠久的历史，可以追溯到 1600 年代，但术语分形和分形维数是由数学家 Benoit Mandelbrot 在 1975 年创造的。

分形维数最初被用作表征复杂几何形式的指标，对于复杂几何形式，细节似乎比整体画面更重要。对于描述普通几何形状的集合，理论分形维数等于集合的熟悉的欧几里德维数或拓扑维数。因此，对于描述点的集合（0维集合），它为 0；1 用于描述线的集合（只有长度的一维集合）；2 用于描述表面的集合（具有长度和宽度的二维集合）；3 用于描述体积的集合（具有长度、宽度和高度的 3 维集合）。但这对于分形集会发生变化。如果一个集合的理论分形维数超过其拓扑维数，则该集合被认为具有分形几何（fractal geometry）。

与拓扑维度不同，分形指数可以采用非整数值，表明一个集合在定性和定量上填充其空间的方式不同于普通几何集合。例如，分形维数非常接近 1（比如 1.10）的曲线表现得非常像一条普通直线，但分形维数为 1.9 的曲线在空间中蜿蜒曲折，非常接近于一个曲面。类似地，分形维数为 2.1 的表面非常像普通表面一样填充空间，但分形维数为 2.9 的表面几乎像一个体积一样折叠和流动以填充空间。这种一般关系 可以在上图的分形曲线图像中看到——32 段轮廓，回旋和空间填充，具有 1.67 的分形维数，相比之下明显不太复杂的 Koch curve，如下图，其分形维数约为 1.2619：

图 Koch curve 是经典的迭代分形曲线。它是通过迭代缩放起始段而形成的理论构造。如图所示，每个新段按 1/3 的比例分为 4 个首尾相连的新片段，其中 2 个中间片段在其他两个片段之间相互倾斜，因此如果它们是三角形，其底边就是中间的片段的长度，这样整个新段就适合传统上测量的前一个段端点之间的长度。虽然动画只显示了几次迭代，但理论曲线以这种方式无限缩放。在这么小的图像上超过大约 6 次迭代，细节就会丢失。 图 Koch curve 分形维数的计算过程。其中虚线为缩放之后 4 个片段的组成原先的总片段，此时每个片段相比原先的片段缩放了 1/3，于是维数可以根据公式得出 D=ln(1/4)/ln(1/3)≈1.2619。

分形维数大于其拓扑维数是指与通常感知的几何形状相比，分形如何缩放。例如，一条直线通常被理解为一维的；如果这样的图形被重新平铺成原始长度的 $1/3$ 的碎片，那么总是有三个相等的碎片。实心正方形被理解为二维的；如果将这样的图形重新平铺成块，每个块在两个维度上按比例缩小 $1/3$，则总共有 $3^2=9$ 块。

我们看到，对于普通的自相似对象，$n$ 维意味着当它被重新平铺成每一个按比例因子 $1/r$ 缩小的碎片时，总共有 $r^n$ 块。现在，考虑 Koch curve。它可以重新平铺成四个子副本，每个子副本按比例缩小 $1/3$。所以，严格类推，我们可以把 Koch curve 的“维数”看做是满足 $3^D=4$ 的唯一实数 $D$。这个数叫做 Koch curve 的分形维数；它不是通常认为的曲线维度。一般来说，分形的一个关键属性是分形维数不同于通常理解的维数（正式称为拓扑维数）。

但是值得注意的是缩放的倍数是离散的，而不是连续的，这又体现了与拓扑维度的区别。

这也导致理解第三个特征，即作为数学方程的分形是“无处可微”的。在具体意义上，这意味着分形无法以传统方式测量。详细地说，在试图找到波浪非分形曲线的长度时，可以找到一些足够小的测量工具的直段，以端到端地放置在波浪上，这些段可以变得足够小以被认为符合用卷尺测量的正常方式的曲线。但是在测量像 Koch curve 这样的无限“摇摆”的分形曲线时，永远找不到足够小的直段来符合曲线，因为锯齿状的图案总是会以任意小的尺度重新出现，本质上会拉一点 每次尝试将卷尺越来越紧地贴合曲线时，将更多的卷尺计入总长度。结果是必须需要无限大的胶带才能完美地覆盖整个曲线，即雪花的周长是无限大的。

增加的分形维数与空间填充的关系可能被认为是指分形维数测量密度，但事实并非如此；两者并不严格相关。相反，分形维数衡量复杂性，这是一个与分形的某些关键特征相关的概念：自相似性（self-similarity）和细节或不规则性（detail or irregularity）。这些特征在分形曲线的两个示例中很明显。两者都是拓扑维数为 1 的曲线，因此人们可能希望能够像测量普通曲线一样测量它们的长度和导数。但我们不能做这两件事，因为分形曲线具有普通曲线所缺乏的自相似性和细节形式的复杂性。自相似性在于无限缩放，细节在于每个集合的定义元素。这些曲线上任意两点之间的长度都是无限大的，无论这两点离得有多近，这意味着不可能通过将曲线分成许多小段来近似这种曲线的长度。每个较小的部分都由无限数量的缩放段组成，看起来与第一次迭代完全一样。这些不是可修正的曲线（rectifiable curves），这意味着它们不能通过被分解成许多近似于它们各自长度的段来测量。不能通过找到它们的长度和导数来有意义地表征它们。然而，它们的分形维数是可以确定的，这表明两者都比普通线填充空间多但比表面少，并允许它们在这方面进行比较。

上面描述的两条分形曲线显示了一种自相似性，这种自相似性与易于可视化的重复细节单元完全一致。这种结构可以扩展到其他空间（例如，将 Koch curve 扩展到 3 维空间的分形理论 $D=2.5849$）。然而，如此整齐可数的复杂性只是分形中存在的自相似性和细节的一个例子。例如，英国海岸线的例子展示了具有近似比例的近似模式的自相似性。总的来说，分形表现出几种类型和程度的自相似性和细节，可能不容易形象化。这些包括，例如，奇异吸引子（strange attractors），其细节在本质上被描述为光滑的部分堆积，Julia set，可以看作是复杂的漩涡上的漩涡，以及心率，这是一种随着时间不断重复和缩放的粗糙尖峰图案。如果不使用复杂的分析方法，分形复杂性可能并不总是可以分解为容易掌握的细节和尺度单位，但它仍然可以通过分形维数进行量化。

4. 历史

分形的历史追溯了一条从主要理论研究到计算机图形学现代应用的道路，几位著名人士在此过程中贡献了规范的分形形式。传统非洲建筑的一个共同主题是分形缩放的使用，结构的小部分往往看起来与较大的部分相似，例如由圆形房屋组成的圆形村庄。根据 Pickover 的说法，分形背后的数学在 17 世纪开始形成，当时数学家和哲学家 Gottfried Leibniz 正在思考递归自相似性（尽管他错误地认为只有直线在这个意义上是自相似的）。

在他的著作中，莱布尼茨使用了“分数指数”一词，但遗憾的是“几何学”还不知道它们。事实上，根据各种历史记载，在那之后很少有数学家解决这些问题和工作 那些做过的人仍然模糊不清，主要是因为对这些不熟悉的新兴概念的抵制，这些概念有时被称为数学“怪物”。因此，直到两个世纪过去了，Karl Weierstrass 才在 1872 年 7 月 18 日提出了带有图形的函数的第一个定义，该图形在今天被认为是分形，具有处处连续但处处不可微的非直观属性。

此外，商差随着求和指数的增加而变得任意大。不久之后，在 1883 年，参加了 Weierstrass 讲座的 Georg Cantor 发表了被称为 Cantor 集的实线子集的例子，它具有不寻常的性质，现在被认为是分形。同样在那个世纪的最后一部分， Felix Klein 和 Henri Poincaré 引入了一种后来被称为“自逆（self-inverse）”分形的分形类别。

图 Cantor (ternary) set。

下一个里程碑发生在 1904 年，当时 Helge von Koch 扩展了 Poincaré 的思想并且不满意 Weierstrass 的抽象和分析定义，给出了一个更几何的定义，包括具有类似功能的手绘图像，现在称为 Koch snowflake。另一个里程碑出现在十年后的 1915 年，当时 Wacław Sierpiński 建造了他著名的三角形，一年后，他建造了地毯。到 1918 年，两位法国数学家 Pierre Fatou 和 Gaston Julia 虽然独立工作，但基本上同时得出了描述现在被视为与映射复数和迭代函数相关的分形行为的结果，并导致了关于吸引子和排斥子的进一步想法（即， 吸引或排斥其他点的点），这在分形研究中变得非常重要。

在该工作提交后不久，到 1918 年 3 月，Felix Hausdorff 扩展了“维度（dimension）”的定义，对于分形定义的演变来说意义重大，以允许集合具有非整数维度。Paul Lévy 进一步提出了自相似曲线的想法，他在 1938 年的论文“平面或空间曲线和由与整体相似的部分组成的曲面”中描述了一种新的分形曲线，即 Lévy C curve。

图 Julia set，与 Mandelbrot set 有关的分形。

不同的研究人员假设，如果没有现代计算机图形学的帮助，早期的研究人员仅限于他们可以在手工绘图中描绘的内容，因此缺乏可视化美丽和欣赏他们发现的许多模式的一些含义的方法（the 例如，Julia set 只能通过几次迭代才能可视化为非常简单的图画）。然而，在 1960 年代，当 Benoit Mandelbrot 开始写关于自相似性的文章时，情况发生了变化“How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension” ，建立在 Lewis Fry Richardson 早期工作的基础上。

1975 年 Mandelbrot 巩固了数百年的思想和数学发展，创造了“分形”一词，并用引人注目的计算机构建的可视化来说明他的数学定义。这些图像，例如他的经典 Mandelbrot set，俘获了大众的想象力；其中许多是基于递归的，导致了术语“分形”的流行含义。

分形维数和分形这两个术语是 Mandelbrot 于 1975 年创造的，大约在他发表关于英国海岸线自相似性的论文十年后。各种历史权威都认为他还综合了几个世纪以来复杂的理论数学和工程工作，并以一种新的方式应用它们来研究无法用通常的线性术语描述的复杂几何形状。Mandelbrot 论述的分形维数的最早根源可以清楚地追溯到关于不可微、无限自相似函数的著作，这些函数在分形的数学定义中很重要，大约在 1600 年代中期微积分被发现的时候。在那之后，关于此类函数的出版工作有一段时间停滞不前，然后在 1800 年代后期开始更新，发布了今天称为规范分形（canonical fractals）的数学函数和集合（例如同名作品 von Koch、Sierpiński 和 Julia 的著作），但在提出他们的时候通常被认为是对立的数学“怪物”。这些作品伴随着也许是分形维数概念发展的最关键点，通过 Hausdorff 在 1900 年代早期的工作，他定义了一个“分数（fractional）”维数，这个维数后来以他的名字命名，并且在现代分形定义中经常被引用。

图 分形树可以生成 [Sierpinski gasket](https://en.wikipedia.org/wiki/Sierpinski_gasket)。 图 均匀质心三角形分形。

5. 缩放的作用（Role of scaling）

图 用于定义尺度和维数的传统几何概念。

$$\begin{gathered} 1,1^2=1,1^3=1 \\ 2,2^2=4,2^3=8 \\ 3,3^2=9,3^3=27 \end{gathered}$$

分形维数的概念基于非常规的尺度和维数观点。如上图所示，传统的几何概念规定形状根据对其所包含空间的直观和熟悉的想法可预测地缩放，例如，使用第一个测量棒测量一条线，然后使用另一个测量棒的 1/3 大小 , 第二根棍子的总长度是第一根棍子的 3 倍。这也适用于二维。如果一个人测量一个正方形的面积，然后用一个边长是原来尺寸的 1/3 的盒子再次测量，将会发现是第一次测量的 9 倍的正方形。这种熟悉的比例关系可以通过下面公式中的一般比例规则在数学上定义：

$$N={\epsilon }^{-D}$$

其中变量 $N$ 表示测量单位的数量（棍子，正方块等），$\epsilon$ 为缩放因子，$D$ 为分形维数。这个缩放规则代表了关于几何和维度的常规规则——参考上面的例子，它量化了 $D=1$ 的直线，因为 $\epsilon =\frac{1}{3}$时，$N=3$，还量化了 $D=2$ 的正方形，因为 $\epsilon =\frac{1}{3}$时，$N=9$。

图 Koch 雪花的前四次迭代，其 Hausdorff 维数约为 1.2619。

同样的规则适用于分形几何，但不太直观。详细地说，最初测量为一个长度的分形线，当使用按旧尺寸的 1/3 缩放的新杆重新测量时，可能是按比例缩放的杆长度的 4 倍，而不是预期的 3 倍，如上图。 在这种情况下，$\epsilon =\frac{1}{3}$ 时，$N=4$，$D$ 可以通过重新整理前式得到：

$${\log }_{\epsilon }N=-D=\frac{\log N}{\log \epsilon }$$

也就是说，对于由下式描述的分形 $\epsilon =\frac{1}{3}$ 时，$N=4$，例如 Koch snowflake，$D=1.26185\dots$，一个非整数值，表明分形的维数不等于它所在的空间。

值得注意的是，此页面中显示的图像不是真正的分形，因为由 $D$ 表示的缩放不能继续超过其最小组件的点，即像素。然而，图像所代表的理论模式没有离散的像素状片段，而是由无限数量的无限缩放片段组成，并且确实具有所声称的分形维数。

6. D 不是唯一描述符

与线、正方形和立方体确定尺寸的情况一样，分形维度是不唯一定义模式的一般描述符。例如，上面讨论的科赫分形的 $D$ 值量化了图案的固有比例，但没有唯一地描述也没有提供足够的信息来重建它。可以构建许多具有相同比例关系但与科赫曲线截然不同的分形结构或模式，如下图所示。

图 两个 [L-systems](https://en.wikipedia.org/wiki/L-systems) 分支分形是通过每 1/3 缩放产生 4 个新部分而形成的，因此与 Koch curve 具有相同的理论值 $D$。经验区域计数（[box counting](https://en.wikipedia.org/wiki/Box_counting)）D 已被证明具有 2% 的准确度。

有关如何构建分形图案的示例，请参阅 Fractal、Sierpinski triangle、Mandelbrot set、Diffusion limited aggregation、L-System。

7. 分形表面结构

分形的概念越来越多地应用于表面科学领域，在表面特性和功能特性之间架起了一座桥梁。许多表面描述符用于解释名义上平坦表面的结构，这些表面通常在多个长度尺度上表现出自仿射特征（self-affine features）。平均表面粗糙度，通常表示为 $R_{\mathrm{A}}$，是最常用的表面描述符，但是许多其他描述符包括平均斜率、均方根粗糙度（root mean square roughness，$R_{\mathrm{RMS}}$）。然而，人们发现许多物理表面现象不能很容易地参照此类描述符来解释，因此分形维数越来越多地应用于建立表面结构在缩放行为和性能方面的相关性。表面的分形维数已被用来解释和更好地理解接触力学领域的现象，摩擦行为，电接触电阻和透明导电氧化物。

8. 例子

图 增加表面分形的图示。自仿射表面（左）和相应的表面轮廓（右）显示分形维数 D_{f} 递增。

本文中描述的分形维数概念是复杂结构的基本视图。选择此处讨论的示例是为了清楚起见，并且提前知道缩放单位和比率。然而，在实践中，分形维数可以使用近似比例和细节的技术来确定，这些技术是根据大小与比例的对数与对数图上的回归线估计的限制来近似的。下面列出了不同类型的分形维数的几种正式数学定义。尽管对于具有精确仿射自相似性的紧集，所有这些维度都重合，但通常它们并不等价：

• Box counting dimension：$D$ 被估计为幂律的指数。

$$D_0=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\log N(\epsilon )}{\log \frac{1}{\epsilon }}$$

• Information dimension：$D$ 考虑识别一个被占用的区域所需的平均信息如何与区域大小成比例；$p$ 是概率。

$$D_1=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{-⟨\log p_{\epsilon }⟩}{\log \frac{1}{\epsilon }}$$

• Correlation dimension关联维度：$D$ 是基于 $M$ 用于生成分形表示的点的数目，$g_{\epsilon }$ 是彼此距离小于 $\epsilon$ 的点对的数目。

$$D_2=\underset{M\to \infty }{\lim }\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\log (g_{\epsilon }/M^2)}{\log \epsilon }$$

• Generalized or Rényi dimensions：box-counting、information 和 correlation dimensions 可以看作是 $\alpha$ 阶广义维度（generalized dimensions）的连续谱的特例，定义为：

$$D_{\alpha }=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{\alpha -1}\log ({\sum }_i{p}_i^{\alpha })}{\log \epsilon }$$

• Higuchi dimension

$$D=\frac{d\log (L(k))}{d\log (k)}$$

• Lyapunov dimension

• Multifractal dimensions：Rényi dimensions 的一种特殊情况，其中缩放行为在图案的不同部分发生变化。

• Uncertainty exponent

• Hausdorff dimension：对于任何度量空间 $X$ 的子集 $S$，$d\ge 0$，$S$ 的 d-dimensional Hausdorff content 定义为：

$$C_H^d(S):=\inf \{\sum _i{r}_i^d:\text{ there is a cover of }S\text{ by balls with radii }{r}_i>0\}.$$

$S$ 的 Hausdorff dimension 定义为

dim ⁡ H ⁡ ( X ) : = inf ⁡ { d ≥ 0 : C H d ( X ) = 0 } \dim _{ {\operatorname {H}}}(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\} dimH​(X):=inf{ d≥0:CHd​(X)=0}

• Packing dimension

• Assouad dimension

• Local connected dimension

8.8 Hausdorff dimension

图 非整数维度的示例。Koch curve 的前四次迭代，每次迭代后，所有原始线段都被替换为四个片段，每个片段都是原始长度的 1/3 的自相似副本。Hausdorff dimension 的一种形式使用比例因子 (S = 3) 和自相似对象的数量 (N = 4) 来计算维度 D，在第一次迭代后为 D = (log N)/(log S) = (log 4)/(log 3) ≈ 1.26。

在数学中，Hausdorff dimension 是粗糙度的量度，或者更具体地说，是分形维数，它于 1918 年由数学家 Felix Hausdorff 首次引入。例如，单个点的 Hausdorff dimension 为零，线段的维度为 1，正方形的维度为 2，立方体的维度为 3。也就是说，对于定义平滑形状或具有少量角的形状（传统几何和科学的形状）的点集，Hausdorff 维数是符合通常意义上的维数的整数，也称为拓扑维数。然而，其还开发了一些公式，允许计算其他不太简单的对象的维度，其中，仅根据它们的缩放和自相似性属性，可以得出这样的结论，即特定对象（包括分形）不具有整数 Hausdorff dimensions。由于 Abram Samoilovitch Besicovitch 取得的重大技术进步，允许计算高度不规则或“粗糙”集的维度，因此该维度通常也称为 Hausdorff–Besicovitch dimension。

更具体地说，Hausdorff dimension 是与度量空间相关联的维数，即定义所有成员之间距离的集合。维度是从扩展实数 $\overline{\mathbb{R}}$ 中得出的，与更直观的维数概念相反，维数与一般度量空间无关，只取非负整数的值。

在数学术语中，Hausdorff dimension 概括了实向量空间维度的概念。即，$n$ 维内积空间的 Hausdorff dimension 等于$n$。这构成了先前声明的基础，即点的 Hausdorff dimension 为 0，线的 Hausdorff dimension 为 1，等等，并且不规则集（irregular sets）可以具有非整数 hausdorff dimensions。例如，上面图中显示的 Koch snowflake 是由等边三角形构成的；在每次迭代中，将其组成的线段分成 3 段单位长度的线段，新创建的中间线段作为新的指向外的等边三角形的底边，然后删除这条底边线段，在单位长度为 4 的迭代中留下一个最终对象。也就是说，在第一次迭代之后，每个原始线段都被替换为 $N=4$，其中每个自相似副本的长度是原始线段的 $1/S=1/3$。换句话说，我们取了一个具有欧几里德维度 $D$ 的对象，并将其线性比例在每个方向上减少 $1/3$，因此它的长度增加到 $N=S^D$。这个方程对于 $D$ 很容易求解，产生图中出现的对数（或自然对数）的比率，并在 Koch 和其他分形情况下给出这些对象的非整数维度。

Hausdorff dimension 是更简单但通常等效的区域计数维度（box-counting dimension）或 Minkowski–Bouligand dimension 的继承者。

8.8.1 直观概念

几何对象 $X$ 的维度的直观概念是在内部挑出一个唯一点所需的独立参数的数量。然而，由两个参数指定的任何点都可以由一个参数指定，因为实平面的基数等于实线的基数（这可以从涉及交织两个数字的数字以产生单个参数的参数中看出数字编码相同的信息）。空间填充曲线的例子表明，人们甚至可以将实线满射地映射到实平面（以某种方式将一个实数变成一对实数，以便覆盖所有数对），从而一维对象完全填满了高维对象。

每条空间填充曲线多次击中某些点并且没有连续的逆。不可能以连续且连续可逆的方式将两个维度映射到一个维度上。拓扑维度，也称为 Lebesgue covering dimension，解释了原因。这个维度是最大的整数 $n$，使得在 $X$ 的每个小空心球覆盖中，至少有一个点是 $n+1$ 个球重叠的。例如，当覆盖一条具有短开区间的线时，给定维数 $n=1$，某些点必须覆盖两次。

但是拓扑维度是对空间局部大小（点附近的大小）的非常粗略的度量。几乎充满空间的曲线仍然可以具有拓扑维度 1，即使它填满了一个区域的大部分区域。分形具有整数拓扑维数，但就其占用的空间量而言，它的行为类似于高维空间。

Hausdorff 维度测量空间的局部大小，同时考虑点之间的距离，度量。考虑完全覆盖 $X$ 所需的半径至多为 $r$ 的球数 $N(r)$。当 $r$ 非常小时，$N(r)$ 随 $1/r$ 多项式增长。对于表现足够好的 $X$，Hausdorff 维度是唯一的数字 $d$，使得 $N(r)$ 在 $r$ 接近零时增长为 $1/rd$。更准确地说，这定义了 Box-counting 维度，当值 $d$ 是不足以覆盖空间的增长率和过多的增长率之间的临界边界时，它等于 Hausdorff 维度。

对于光滑的形状，或者具有少量角的形状，传统几何学和科学中的形状，Hausdorff 维数是与拓扑维数一致的整数。但是 Benoit Mandelbrot 观察到分形，具有非整数 Hausdorff 维度的集合，在自然界中随处可见。他观察到，你在周围看到的大多数粗糙形状的正确理想化不是光滑的理想化形状，而是分形理想化形状：

云不是球体，山脉不是圆锥体，海岸线不是圆圈，树皮不是光滑的，闪电也不是直线传播的。

对于自然界中出现的分形，Hausdorff 维数和 Box-counting 维数重合。Packing dimension 是另一个类似的概念，它为许多形状提供相同的值，但有充分记录的例外情况，所有这些维数都不同。

8.8.2 正式定义

Hausdorff 维度的正式定义是通过首先定义 Hausdorff measure 得出的，这是 Lebesgue measure 的分数维类似物。首先，构造一个外部度量（outer measure）：令 $X$ 是一个度量空间。如果 $S\subset X$ 和 $d\in [0,\infty )$，

$$H_{\delta }^d(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\mathrm{diam}{U}_i{)}^d:\bigcup _{i=1}^{\infty }{U}_i\supseteq S,\mathrm{diam}{U}_i<\delta \right\}$$

其中，下确界覆盖 $S$ 的所有可数数 $U_i$。Hausdorff outer measure 被定义为 ${\mathcal{H}}^d(S)={\lim }_{\delta \to 0}{H}_{\delta }^d(S)$，并且映射到可测量集的限制证明它是一种测度，称为 $d$ 维 Hausdorff 测度。

8.8.2.1 Hausdorff dimension

$X$ 的 Hausdorff dimension ${\dim }_H(X)$ 定义为：

dim ⁡ H ⁡ ( X ) : = inf ⁡ { d ≥ 0 : H d ( X ) = 0 } {\displaystyle \dim _{\operatorname {H} }{(X)}:=\inf\{d\geq 0:{\mathcal {H}}^{d}(X)=0\}} dimH​(X):=inf{ d≥0:Hd(X)=0}

这与集合 $d\in [0,\infty )$ 的上确界相同，这样 $X$ 的 $d$ 维 Hausdorff 测度是无限的（除了当后一组数字 $d$ 为空，Hausdorff 维度为零）。

8.8.2.2 Hausdorff content

$S$ 的 $d$ 维 unlimited Hausdorff content 定义为：

$$C_H^d(S):=H_{\infty }^d(S)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }(\mathrm{diam}{U}_k{)}^d:\bigcup _{k=1}^{\infty }{U}_k\supseteq S\right\}$$

换句话说，$C_H^d(S)$ 具有 Hausdorff 测度的构造，其中覆盖集（covering sets）允许有任意大的大小（这里，我们使用标准约定 $\inf \varnothing =\infty$。Hausdorff measure 和 Hausdorff content 都可以用来确定一个集合的维数，但如果集合的测度是非零，它们的实际值可能不一致。

8.8.3 例子

图 另一个分形示例的维数。Sierpinski 三角形，Hausdorff 维数为 log(3)/log(2)≈1.58。

• 可数集（countable sets）的 Hausdorff 维数为 0；
• 欧氏空间 ${\mathbb{R}}^n$ 有 hausdorff 维度 $n$，圆 $S^1$ 的 Hausdorff 维数为 1；
• 分形通常是 Hausdorff 维数严格超过拓扑维数的空间。例如，零维拓扑空间 Cantor 集是其自身两个副本的并集，每个副本都缩小了 $1/3$ 倍；因此，可以证明其 Hausdorff 维数为 $\ln (2)/\ln (3)\approx 0.63$。Sierpinski 三角形是自身三个副本的并集，每个副本缩小 $1/2$ 倍；这会产生 $\ln (3)/\ln (2)\approx 1.58$ 的 Hausdorff 维数。这些 Hausdorff 维度与 Master theorem 的“临界指数”有关，该定理用于在算法分析中求解递推关系。
• 像 Peano curve 这样的空间填充曲线（space-filling curves）与它们填充的空间具有相同的 Hausdorff 维度；
• 2 维及以上的布朗运动轨迹被推测为 Hausdorff 维数为 2；
• Lewis Fry Richardson 进行了详细的实验，以测量各种海岸线的近似 Hausdorff 维数。他的结果从南非海岸线的 1.02 到英国西海岸的 1.25 不等。

图 估计英国海岸的 Hausdorff 维数。

8.8.4 Hausdorff dimension 的性质

8.8.4.1 Hausdorff dimension 和 inductive dimension

令 $X$ 为任意可分度量空间。$X$ 有一个递归定义的归纳维度（inductive dimension）的拓扑概念。它始终是一个整数（或 $+\infty$）并表示为 ${\dim }_{\mathrm{ind}}(X)$。

假设 $X$ 是非空的，则：

$${\dim }_{\mathrm{Haus}}(X)\ge {\dim }_{\mathrm{ind}}(X)$$

而且，

$$\underset{Y}{\inf }{\dim }_{\mathrm{Haus}}(Y)={\dim }_{\mathrm{ind}}(X)$$

其中 Y 在与 X 同胚的度量空间上取值。换句话说，X 和 Y 具有相同的基础点集，并且 Y 的度量 dY 在拓扑上等价于 dX。

这些结果最初由 Edward Szpilrajn (1907–1976) 建立。

8.8.4.2 Hausdorff dimension 和 Minkowski dimension

Minkowski 维数与Hausdorff 维数相似，至少和Hausdorff 维数一样大，并且在许多情况下它们是相等的。然而，$[0,1]$ 中的有理点集的 Hausdorff 维数为零，Minkowski 维数为一。也存在 Minkowski 维数严格大于 Hausdorff 维数的紧集。

8.8.4.3 Hausdorff dimensions 和 Frostman measures

如果在度量空间 $X$ 的 Borel 子集上定义了一个测度 $\mu$，对于某个常数 $s>0$ ，并且对于每个球 $B(x,r)$ 在 $X$ 中，使得 $\mu (X)>0$ 且 $\mu (B(x,r))\le r^s$，然后 ${\dim }_{\mathrm{Haus}}(X)\ge s$。Frostman’s lemma 的引理提供了部分逆向（partial converse）。

8.8.4.4 并集（union）和积（product）下的行为

如果 $X={\bigcup }_{i\in I}{X}_i$ 是有限或可数并集，则：

$${\dim }_{\mathrm{Haus}}(X)=\underset{i\in I}{\sup }{\dim }_{\mathrm{Haus}}(X_i)$$

这可以直接从定义中验证。

若 $X$ 和 $Y$ 为非空度量空间，则其积的 Hausdorff 维数满足：

$${\dim }_{\mathrm{Haus}}(X\times Y)\ge {\dim }_{\mathrm{Haus}}(X)+{\dim }_{\mathrm{Haus}}(Y)$$

这种不平等可能是严格的。可以找到两个维度为 0 的集合，其乘积的维度为 1。在相反的方向上，已知当 $X$ 和 $Y$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 的 Borel 子集时，$X\times Y$ 的 Hausdorff 维数由 $X$ 的 Hausdorff 维数加上 $Y$ 的上堆积维数（upper packing dimension）从上方界定。这些事实在 Mattila 中讨论（1995）。

8.8.5 自相似集（Self-similar sets）

许多由自相似条件定义的集合具有可以明确确定的维度。粗略地说，如果集合 $E$ 是集值变换 $\psi$ 的不动点，即 $\psi (E)=E$，则集合 $E$ 是自相似的，尽管下面给出了确切的定义。

假设

$${\psi }_i:{\mathbf{R}}^n\to {\mathbf{R}}^n,i=1,\dots ,m$$

是 ${\mathbf{R}}^n$ 上的收缩映射（contractive mappngs），收缩常数 $r_j<1$。那么存在唯一的非空紧集 $A$ 使得：

$$A=\bigcup _{i=1}^m{\psi }_i(A)$$

该定理源自 Stefan Banach 的收缩映射不动点定理（contractive mapping fixed point theorem），该定理应用于具有 Hausdorff distance 的 ${\mathbf{R}}^n$ 的非空紧致子集的完整度量空间。

8.8.5.1 开集条件（The open set condition）

为了确定自相似集 $A$ 的维数（在某些情况下），我们需要一个关于收缩序列 ${\psi }_i$ 的称为开集条件（open set condition，OSC）的技术条件。

有一个相对紧致的开集 $V$ 使得

$$\bigcup _{i=1}^m{\psi }_i(V)\subseteq V$$

其中左侧并集中的集合成对不相交。

开集条件是一种分离条件，可确保图像 ${\psi }_i(V)$ 不会重叠“太多”。

假设开集条件成立并且每个 ${\psi }_i(V)$ 是一个相似性，即等距和围绕某个点的膨胀的组合。则 $\psi$ 的唯一不动点是一个集合，其 Hausdorff 维数为 $s$ 其中 $s$ 是下面公式的唯一解：

$$\sum _{i=1}^m{r}_i^s=1$$

相似的收缩系数是膨胀的大小。

一般来说，集合 $E$ 是一个映射的不动点

$$A\mapsto \psi (A)=\bigcup _{i=1}^m{\psi }_i(A)$$

自相似当且仅当交叉点

$$H^s\left({\psi }_i(E)\cap {\psi }_j(E)\right)=0$$

其中 $s$ 是 $E$ 的 Hausdorff 维数，$H^s$ 表示 Hausdorff 测度。这在 Sierpinski gasket 的情况下很明显（交点只是点），但在更普遍的情况下也是如此：在与前面定理相同的条件下，$\psi$ 的唯一不动点是自相似的。

9. 从真实世界的数据估计

许多现实世界的现象表现出有限的或统计的分形特性和分形维数，这些特性和分形维数是使用基于计算机的分形分析技术从采样数据中估计出来的。实际上，分形维数的测量受到各种方法问题的影响，并且对数值或实验噪声和数据量的限制很敏感。尽管如此，该领域正在迅速发展，因为统计自相似现象的估计分形维数可能在天文学、声学、地质学和地球科学、诊断成像等各个领域有许多实际应用，生态学，电化学过程，图像分析，生物学和医学，神经科学，网络分析、生理学、物理学、和黎曼 zeta 零点。分形维数估计也被证明与来自心理声学和神经科学的现实世界数据集中的 Lempel-Ziv complexity 复杂性相关。

直接测量的替代方法是考虑一个类似于现实世界分形对象形成的数学模型。在这种情况下，还可以通过将模型隐含的分形属性与测量数据进行比较来进行验证。在胶体物理学中，出现了由具有不同分形维数的粒子组成的系统。为了描述这些系统，谈论分形维数的分布很方便，最终，谈论后者的时间演变：一个由聚集（aggregation）和聚结（coalescence）之间复杂的相互作用驱动的过程。

10. 生成分形的常用技巧

图 使用 L-systems 原理在计算机中建模的自相似分支模式。

分形图像可以通过分形生成程序（fractal generating programs）创建。由于蝴蝶效应，单个变量的微小变化可能会产生不可预测的结果。

• 迭代函数系统（Iterated function systems，IFS）——使用固定的几何替换规则；可能是随机的或确定性的；例如，Koch snowflake、Cantor set、Haferman carpet，Sierpinski carpet、Sierpinski gasket、Peano curve、Harter-Heighway dragon curve、T-square、Menger sponge
• 奇异吸引子——使用映射的迭代或显示混沌的初始值微分或差分方程组的解
• L-systems——使用字符串重写；可能类似于植物、生物细胞（例如神经元和免疫系统细胞）、血管、肺部结构等中的分支模式，或海龟图形模式，例如空间填充曲线和瓷砖
• 逃逸时间分形（Escape-tme fractals）——在空间中的每个点（例如复平面）使用公式或递归关系；通常是准自相似的；也称为“轨道”分形；例如，Mandelbrot set、Julia set、Burning Ship fractal、Nova fractal 和 Lyapunov fractal。当点（或像素数据）重复通过该场时，由逃逸时间公式的一次或两次迭代生成的二维矢量场也会产生分形形式。
• 随机分形——使用随机规则；例如，Lévy flight、percolation clusters、self avoiding walks、fractal landscapes、布朗运动轨迹和布朗树（Brownian tree）（即通过模拟扩散限制聚集或反应限制聚集簇生成的树枝状分形）。
• 有限细分规则（Finite subdivision rules）——使用递归拓扑算法细化分块，它们类似于细胞分裂的过程。用于创建 Cantor set 和 Sierpinski carpet 的迭代过程是有限细分规则的示例，重心细分（barycentric subdivision）也是如此。

图 由交替链接（[alternating link](https://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_link)）的有限细分规则生成的分形。

11. 分形景观（Fractal landscape）

图 使用三角形分形创造了山区。

使用一种随机算法生成分形景观或分形表面，该算法旨在产生分形行为，以模仿自然地形的外观。换句话说，该过程产生的表面不是确定性的，而是表现出分形行为的随机表面。

许多自然现象表现出某种形式的统计自相似性，可以通过分形表面进行建模。此外，表面纹理的变化为表面的方向和斜率提供了重要的视觉提示，并且使用几乎相似的分形图案可以帮助创造自然的视觉效果。Benoit Mandelbrot 首先提出了通过分数布朗运动对地球粗糙表面的建模。

由于该过程的预期结果是产生景观，而不是数学功能，因此通常将过程应用于可能影响平稳性甚至这种表面的整体分形行为的这种景观，以产生更具令人信服的景观。

根据 R. R. Shearer 的说法，自然外观的表面和景观的产生是艺术史上的一个主要转折点，在这里，几何，计算机产生的图像和天然的艺术之间的区别变得模糊。电影《星际迷航II：汗的愤怒》在电影中首次使用分形生成的景观。

12. 布朗曲面（Brownian surface）

图 三维布朗曲面的单一实现。

布朗曲面是通过分形高程函数（fractal elevation function）生成的分形曲面。

布朗曲面因布朗运动而得名。

12.1 例子

例如，在三维情况下，两个变量 $X$ 和 $Y$ 作为坐标给出，任意两点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 之间的高程函数可以设置为具有平均值或期望值随着 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 之间的向量距离增加。但是，有许多方法可以定义高程函数。例如，可以使用分数布朗运动变量，或者可以使用各种旋转函数来获得更自然的表面。

12.2 分数布朗曲面的生成

有效生成分数布朗曲面提出了重大挑战。由于布朗曲面表示具有非平稳协方差函数的高斯过程，因此可以使用 Cholesky decomposition。一种更有效的方法是 Stein method，它使用循环嵌入方法（circulant embedding approach）生成辅助平稳高斯过程（auxiliary stationary Gaussian process），然后调整该辅助过程以获得所需的非平稳高斯过程。下图显示了不同粗糙度或 Hurst 的分数布朗曲面的三种典型实现。Hurst 参数始终介于 0 和 1 之间，值越接近 1，表面越光滑。这些表面是使用 Stein method 的 Matlab 实现生成的。

图 不同 Hurst parameters 的分数布朗曲面。参数越大，表面越光滑。

13. 自相似（Self-similarity）

图 Koch curve 在放大时具有无限重复的自相似性。 图 标准（平凡的（trivial））自相似性。

在数学中，一个自相似对象与自身的一部分完全或大致相似（即，整体具有与一个或多个部分相同的形状）。现实世界中的许多物体（例如海岸线）在统计上是相似的：它们的一部分在许多尺度上都显示出相同的统计特性。自相似性是分形的典型特性。标度不变性是一种确切的自相似性形式，在任何放大倍数下，都有与整个物体相似的较小物体。例如，Koch snowflake 的一侧既对称又是标度不变。它可以不断地放大 3 倍而不会改变形状。分形中明显的非平凡相似性以其精细结构或任意尺度上的细节而区别。作为反例，而直线的任何部分都可能类似于整体，但没有揭示进一步的细节。

如果在不同时间，某个可观测量的数值，$f(x,t)$ 是不同的，在给定的值 $x/t^z$ 下对应的无量纲量保持不变，那么时间演化现象就被认为是自相似的。这发生在 $f(x,t)$ 表现出动态缩放（dynamic scaling）。这个想法只是两个三角形相似性的想法的扩展。请注意，如果其侧面的数值不同，则两个三角形是相似的，但是相应的无量纲数量（例如它们的角度）一致。

Peitgen 等解释这个概念：

如果图的一部分是整体的小复制品，则该图被称为自相似。…如果图形可以分解为整体的精确副本，则图是严格相似的。任何任意部分都包含整个数字的精确副本。

比如在研究前图 Koch curve 中，横坐标和纵坐标都需要放大，但是两者放大的倍数不同也会影响最终的相似性，在 Koch curve 中横纵坐标都是按照相同倍数（离散的）放大，此时呈现严格的自相似性，以为每个被放大的细节都可充当原始图像的精确副本。在其他函数曲线中，可能需要横纵坐标放大倍数不同，才能直观看到曲线的自相似性。

由于在数学上，分形可能在不确定的放大倍率下显示出自相似性，因此不可能在物理上重新创建它。Peitgen等建议使用近似值研究自相似性：

为了让自相似性的属性具有操作意义，我们必须仅限于处理极限数字的有限近似值。这是使用该方法来完成的，我们将使用这些方法来调用区域自相似性，其中使用各种尺寸的网格在图的有限阶段进行测量。

该词汇由 Benoit Mandelbrot 于 1964 年引入。

13.1 自仿射性（Self-affinity）

图 自仿射分形，Hausdorff dimension= 1.8272。

在数学中，自仿射分形的特征，其碎片在 $x$ 和 $y$ 方向上的不同数量缩放。这意味着要欣赏这些分形对象的自我相似性，必须使用各向异性仿射转化重新缩放它们。

13.2 定义

一个紧拓扑空间（compact topological space）$x$ 是自相似的，如果存在一个有限集 $S$，其索引一个非满射同胚（non-surjective homeomorphisms）的集合 { f s ： s ∈ S } \{f_ {s}：s \in S \} { fs​：s∈S}：

$$X=\bigcup _{s\in S}{f}_s（X）$$

如果 $X\subset Y$，如果它是 $Y$ 的唯一非空子集，上述方程式在 { f s ： s ∈ S } \{f_ {s}：s \in S \} { fs​：s∈S} 成立，我们称 $X$ 自相似。我们称：

L = ( X , S , { f s : s ∈ S } ) {\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}:s\in S\}) L=(X,S,{ fs​:s∈S})

一个自相似的结构（self-similar structure）。同态可能会迭代，从而导致迭代函数系统（iterated function system）。函数的组合产生了一个单类（monoid）的代数结构。当集合 $S$ 只有两个元素时，单型被称为二元型单类（dyadic monoid）。 可以将二元的单类视为无限的二叉树（binary tree）。更一般而言，如果集合 $S$ 具有 $P$ 元素，则可以将 MONOID 表示为 p-adic tree。

二元性单类的自态（automorphisms）是模群（modular group）。自同构（automorphisms）可以描述为二叉树（binary tree）的双曲旋转（hyperbolic rotations）。

比自相似性更一般的概念是自仿射的概念。

图 通过放大在Feigenbaum点上显示的Mandelbrot中的自相似性，位于（-1.401155189 ...，0）。 图 自仿射自相似性的 Barnsley fern 的图像。 图 用重心细分反复细分（[barycentric subdivision](https://en.wikipedia.org/wiki/Barycentric_subdivision)）的三角形。大圆圈的补充成为一个 Sierpinski carpet 。 图 Romanesco broccoli 特写。

13.3 动态缩放（Dynamic scaling）

动态缩放（Dynamic scaling，有时称为 Family-Vicsekscaling）是一种检验测试，它显示了不断发展的系统是否表现出自相似性。通常，如果满足以下函数，则表现出动态缩放：

$$f(x,t)\sim t^{\theta }\phi \left(\frac{x}{t^z}\right)$$

这里的指数 $\theta$ 是根据维度要求 $[f]=[t^{\theta }]$ 确定的。$f/t^{\theta }$ 的数值应该保持不变，尽管 $t$ 的测量单位被某些因素改变，因为 $\phi$ 是一个无量纲的量。

在任何固定时间，从快照中获得的数据与从任何较早或更晚的快照中获取的数据相似，这些系统中的许多系统以自相似的方式发展。也就是说，该系统在不同的时间与自身相似。这种自相似性的检验测试由动态缩放提供。

13.3.1 历史

“动态缩放”一词是描述关键现象动力学的重要概念之一，似乎起源于 Pierre Hohenberg 和 Bertrand Halperin 的 1977 年的开创性论文，即他们建议

[…] that the wave vector- and frequency-dependent susceptibility of a ferromagnet near its Curie point may be expressed as a function independent of $|T-T_C|$ provided that the length and frequency scales, as well as the magnetization and magnetic field, are rescaled by appropriate powers of $|T-T_C|$.

后来，TamásVicsek 和 Fereydoon Family 在二维中的集团扩散限制聚集（DLA）的背景下提出了动态缩放的概念。他们提出动态缩放的建议的形式是：

$$f(x,t)\sim t^{-w}{x}^{-\tau }\phi \left(\frac{x}{t^z}\right)$$

指数满足以下关系：

$$w=(2-\tau )z$$

13.3.2 动态缩放的测试

在这样的系统中，我们可以定义一定时间依赖的随机变量 $x$。我们有兴趣计算 $x$ 的概率分布在时间的各个瞬间，即 $f(x,t)$。$f$ 的数值和 $x$ 的典型或平均值通常会随着时间而变化。问题是：相应的无量纲变量会发生什么？ 如果维度数量的数值发生变化，但是相应的无量纲数量仍然不变，那么我们可以说系统的快照在不同时间相似。发生这种情况时，我们说系统是自相似的。

验证动态缩放的一种方法是绘制无量纲变量 $f/t^{\theta }$ 作为 $x/t^z$ 的函数，数据是在不同时间提取的数据。然后，如果所有的 $f\text{vs}x$ 的图在不同时间重叠到单个通用曲线上，然后在不同时间的系统相似，并且遵守动态缩放。数据重叠的想法深深植根于（Buckingham Pi theorem）。从本质上讲，这种系统可以称为时间自相似性（temporal self-similarity），因为在不同时间相同的系统相似。

13.3.3 例子

物理学家研究的许多现象不是静态的，而是随时间概率地进化（即随机过程）。宇宙本身也许是最好的例子之一。自大爆炸以来，它一直在扩展。 同样，诸如互联网之类的网络的增长也在不断增长的系统。另一个例子是聚合物降解，降解不是在眨眼之间发生的，而是在相当长的时间内发生的。生物和计算机病毒的传播也不会在一夜之间发生。

发现显示出动态缩放的许多其他看似不同的系统。例如：

• Smoluchowski coagulation equation 描述的聚合动力学；
• Barabasi -Albert model 描述的复杂网络；
• 动力学和随机 cantor set；
• Kardar -Parisi -Zhang（KPZ）普遍性的增长模型（growth model）；人们发现表面的宽度 $W(L,t)$ 表现出动态缩放。
• 加权平面随机晶格（weighted planar stochastic lattice，WPSL）的区域尺寸分布也表现出动态缩放；
• 分数泊松过程的边缘概率表现出动态缩放。

14. L-system

待完成：[wiki: L-system](https://en.wikipedia.org/wiki/L-system)

图 L-system trees 形成自然模式的逼真模型。

L-system 或 Lindenmayer system 是一种并行重写系统（parallel rewriting system）和一种形式语法。 L-system 由可用于生成字符串的符号字母表、将每个符号扩展为更大的符号字符串的生成规则集合、开始构造的初始“公理”字符串以及用于将生成的字符串转换为几何结构的机制组成。 L-system 是由乌得勒支大学的匈牙利理论生物学家和植物学家 Aristid Lindenmayer 于 1968 年引入和开发的。Lindenmayer 使用 L-system 来描述植物细胞的行为并模拟植物发育的生长过程。 L-system 也被用于模拟各种生物体的形态，并可用于生成自相似分形。

14.1 起源

图 “杂草”，使用 3D L-system 生成。

作为一名生物学家，Lindenmayer 研究了酵母和丝状真菌，并研究了各种类型细菌的生长模式，例如蓝藻藻类鱼腥藻。 最初，设计 L-system 是为了对这种简单的多细胞生物的发育提供正式描述，并说明植物细胞之间的邻域关系。后来，这个系统被扩展到描述高等植物和复杂的分支结构。

迭代函数系统（Iterated function system）

wiki: Iterated function system

多重分形系统（Multifractal system）

wiki: Multifractal system

15. 分形软件

• Classic Iterated Function Systems_Koch Snowflake

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• 参考文献

wiki: Fractal dimension

wiki: Fractal

wiki: Self-similarity

wiki: Dynamic scaling

wiki:Teragon

wiki: Fractal-generating software

wiki: Fractal landscape

wiki: Brownian surface

wiki: Hausdorff dimension

wiki: Hausdorff measure

wiki: Box counting

wiki: Lichtenberg figure