PLONK 的工作原理：第 1 部分

PLONK 是最先进的 zk-SNARK 证明系统。以前的 zk-SNARK（例如 Groth16）具有特定于电路的设置，这需要对任何新电路进行新的可信设置。PLONK 的可信设置是通用的，这意味着它可以启动一次并被所有电路重复使用¹。它也是可更新的：人们总是可以添加新的随机性，直到确信设置没有受到损害。

本文将解释 PLONK 如何证明计算的核心思想。下图说明了使用 PLONK 证明计算所要采取的步骤。

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我们将详细解释每个步骤。

算术电路

PLONK 不理解想要证明的程序。它首先必须转换为一种称为算术电路的格式。算术电路是由两种门组成的电路：加法和乘法。

假设我们想证明我们知道方程 P(x) = x³ + x + 5 = 35 的解（解为 3）。我们可以将其转换为以下电路。

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图 1 : 电路

约束系统

接下来，我们将算术电路转换为约束系统。电路导线有两类约束。

1. 门限约束

这些是电路每个门内的约束。上述电路有四个门和以下约束，即具有一定格式的方程。

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图 2 : 约束

在 PLONK 中，所有约束都被标准化/标准化为以下形式²：

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图 3

a、b、c 是门的左、右和输出线。所有的 Q都是常数。

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图 4: PLONK 通用门，每个圆圈是一个 Q

它可以看作是一个广义门，可以通过调整所有的 Q 来配置。例如，如下设置所有的 Q 会将通用门变成加法门。

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图 5：加法门

为了看看如何，我们设置 QL = 1，QR = 1，QO = -1，QM = 0，QC=0，则图 3变成

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同样，以下配置表示乘法门。

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图 6：乘法门

图 2 转化为：

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图 7：Plonk 约束

我们可以用向量形式重写 Q：

QL=(0,0,1,1), QR=(0,0,1,0), QO=(−1,−1,−1,0), QM=(1,1,0,0), QC=(0,0,0,−30).

Q 向量称为选择器，它编码电路结构，即程序。

类似地，我们可以将所有 a、b 和 c 收集到向量中：

a = (a0, a1, a2, a3), b = (b0, b1, b2, b3), c = (c0, c1, c2, c3).

这些向量称为见证人分配（witness assignments），表示从用户输入派生的所有线路值，其中一些可能是私有的，只有证明者知道。

2.复制约束

这些是跨不同门的约束，例如，c0=a1。我们将推迟到第 2 部分来解释它。

多项式

我们可以通过使用它的索引作为 x 坐标将向量转换为点列表。例如，QL 可以转换为 (0, 0)、(1, 0)、(2, 1) 和 (3, 1)。有一个唯一的 3 次多项式通过这些点。{0, 1, 2, 3} 称为评估域。QL 是“评估形式”，而它的“系数形式”可以通过插值获得³。

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同样，我们可以将其他向量转换为多项式，在同一域进行评估。让我们将 f(x) 定义为：

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图 8

f(0) 计算结果为 0，因为

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类似地，您可以在 1、2、3 处评估 f，这些结果都为 0。

当且仅当满足以下条件时，将满足图 7 中的所有约束：

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图 9

我们已将所有约束压缩为单个多项式 f(x)，可以表示如下。

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图 10

这是因为 0、1、2 和 3 是 f(x) 的根。只要存在使 f(x) 除 Z(x) 没有任何余数的多项式 H(x)，图 9 就成立。Z(x) 称为消失/零多项式，H(x) 称为商多项式。我们可以定义另一个多项式 g(x)：

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图 11

我们只需要证明 g(x) 在任何地方都是 0，即它是一个零多项式。

Schwartz-Zippel 引理

Schwartz-Zippel 引理指出：设 f(x) 是大小为 n 的域 F 上的 d 次非零多项式，则对于随机选择的 s，f(s) = 0 的概率至多为 d/n. 直观地说，这是因为 f(x) 最多有 d 个根。在实践中，d通常不大于1亿，而 n 接近2²⁵⁶，即 d/n = 1/10⁶⁹。

这意味着如果我们在某个随机点评估多项式并且评估为 0，则表明多项式实际上在任何地方都为零，并且具有压倒性的概率。

一个推论是，如果我们在某个随机点评估两个多项式并且它们相等，那么它们几乎肯定在任何地方都相等。

多项式承诺方案

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多项式承诺

为了证明多项式 P(x) 为 0，我们使用多项式承诺方案(PCS)。PCS 可以看作是某个多项式 P(x) 的某种“散列”，提交者可以通过证明证明 P 在某个点上的计算结果为某个值，而不会泄露多项式 P。

PCS 由证明者和验证者之间的三轮组成：

提交：证明者提交某个多项式 P 并将其发送给验证者
挑战：验证者想要在随机点 s 评估 P 并将其发送给证明者
揭示：证明者在 s 处评估 P 并将结果 y 连同评估证明一起发回。验证者检查证明，如果证明有效，则得出 P(s) = y 的结论。多项式方程本身可以通过在随机值处进行评估来有效地验证。

我们可以使用 PCS 来证明图 11 中的 g(x) 为零。PLONK 论文使用基于配对的 Kate 承诺。也可以使用其他 PCS。

我们将在下一篇文章中介绍剩余的复制约束部分。敬请关注。如果有任何错误，请告诉我们。

参考

https://github.com/sCrypt-Inc/awesome-zero-knowledge-proofs#plonk

[1] 只要新电路不大于原电路。

[2] PLONK 约束系统类似于 rank-one 约束系统 (R1CS)，因为它们在每个门中都只能有一个乘法。不同之处在于 R1CS 允许在门中无限加法，而 PLONK 只能做一个，不包括常数的加法。

[3] 在实践中，系数都是整数，因为所有操作都不是在整数上完成的，而是在素数域上完成的。