指数信号与正弦信号

连续时间复指数

周期复指数信号:x(t)=Ce^{j\omega_{0}t}

所有x(t)都满足x(t)=x(t+T),Ce^{j\omega_{0}t}是周期信号,周期为T=2\pi /\omega_{0}

对于一般的复指数信号:x(t)=Ce^{j\omega_{0}t},其中C=\alpha+j \beta =\left | C \right |e^{j\theta },而\alpha =r+j\omega _{0}

所以x(t)=\left |C \right |e^{j\theta }e^{rt}e^{j\omega _{0}t}=\left |C \right |e^{rt}e^{j(\omega _{0}t+\theta) }

一般的复指数信号,可以将它看成是实指数信号e^{rt}和周期复指数信号e^{j\omega_{0}t}相乘的结果;\omega _{0}反映了振荡信号的变化频率;r反映了振荡信号峰值的变化趋势。

若r>0,幅度增长的正弦信号,若r<0,幅度衰减的正弦信号。

假如x_{1}(t)+x_{2}(t)T_{1}/T_{2}为有理数,T_{0}=LCM(T_{1}+T_{2})

T_{1}/T_{2}为无理数,该信号不是周期信号

离散时间复指数

离散时间复指数信号的周期性

\frac{2\pi}{\omega _{0}}=N为整数,则周期为N。

\frac{2\pi}{\omega _{0}}=\frac{N}{K}为有理数,则周期为N。

\frac{2\pi}{\omega _{0}}为无理数,则不是周期信号

正弦信号

正弦信号,根据欧拉公式

e^{j\omega_{0}t}=cos\omega_{0}t+jsin\omega_{0}t

e^{-j\omega_{0}t}=cos\omega_{0}t-jsin\omega_{0}t

可得:cos\omega_{0}t=\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}

sin\omega_{0}t=\frac{e^{j\omega_{0} t}-e^{-j\omega_{0} t}}{2j}

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