（这是写给我们集训队公众号“广外acm集训队”的推送）
传统区间和问题
存在一个整数序列（最多10的5次方个），并且定义三种操作：查询[l,r]区间的和、更新第i个的值。
如果你看过我们之前的推送，一定能想到线段树的做法，线段树是区间问题求解的强力经典算法。
但是如果我们再增加一种操作呢？
查询第n次更新时的[l,r]区间和。
当我们更新一个值之后，线段树维护的区间和就变了，要怎样才能查询到历史数据呢？
其实很容易想到，我们每一次更新，都建一颗全新的线段树就好啦！这样就能轻易的查询到历史的区间和数据。
毫无疑问这是一个正确的思维导向，然而却存在着致命的问题：空间爆炸。如果你已经学过《数据结构》的课程，就会知道我们在用顺序表（数组）储存二叉树数据结构的时候，是这样一种情况：
对于一颗线段树，我们一般要把空间开到区间长度的4倍，假设有100个更新操作，就要建立100个线段树，这样可怕的空间消耗显然是不可接受的。
既然每次更新都新建线段树的思路是绝对可行的，那么如何解决空间爆炸这个问题？
这时候，我们就要用到函数式编程的思想。
函数式编程思维, 就是用计算(函数)来表示程序, 用计算(函数)的组合来表达程序的组合的思维方式，代表性的函数式编程语言有haskell、lisp等。
解决这个问题，我们不需要学会函数式编程，更不需要学会函数式编程语言，我们需要的是函数式编程中的重要思想：
如无必要，勿增实体。
落实到这个问题上来就是说：没必要的空间，你就别再开了啊。
那么什么样的空间是不需要开的呢？我们观察一下每次更新操作时发生的变化，就会轻易发现，由于题目的更新操作每次只更新一个点，所以每次更新操作后，线段树只会有一半的一半的一半……会发生变化（即logN个）：
如图所示，如果我们要更新5号节点，那么只有1、2、5三个节点（红圈）的值会发生改变，其他的都没有发生变化。既然如此，为什么还要整个再建一遍啊？想一想普通线段树的更新操作，我们也只去更新需要的那些节点而已。于是解决问题的方法就来了：变化了的节点重建，没变的？那就用以前的！
全新的强大数据结构诞生了，这就是在上一篇推送“权值线段树”中提到的：
可持久化线段树（Persistent Segment Tree）
可持久化数据结构的思维其实刚刚已经讲完了，就是一种典型的函数式编程思维，重用，重用，再重用。如此一来，我们不但省下了空间，还降低了时间复杂度。
给一幅图玄学理解一下：
（图片来自https://blog.csdn.net/farestorm/article/details/50337527）
建立可持久化线段树，一般只需要把空间开到区间大小的30倍左右就够了。
思路有了，就到了动手阶段。怎样去造一个可持久化线段树的轮子？
首先是建树。我们之前在建线段树时，遵循“一个父节点的左/右子节点位于父节点索引的2i/2i+1位置”。而可持久化线段树中，左/右子节点理论上来说可以在除根节点以外的任意位置，这时候就需要专门的变量来记录，于是开两个数组lc（leftChild）和rc（rightChild）来存子节点索引。之后是线段树都有的，维护区间的部分，这里是区间和，所以开一个sum数组。如上所述，这三个数组都开30倍。最后，还需要一个r（roots）数组，记录每一颗线段树的根节点在哪。
int lc[3000010];//左孩子
int rc[3000010];//右孩子
int sum[3000010];//区间和
int r[100010];
我们就在几个数组里，建立更新次数+1个互相重用的线段树！
毫无疑问，第一颗树的根节点肯定是是sum[0]或者sum[1]啦（为了更符合人类思维和查询操作一般选择索引1），那后面的根节点该选择在哪？有的神仙（比如说洲哥，%%%）可以通过仙术找到，还有的学霸肯定会说，可以根据区间大小算出一颗线段树用了多少空间……怎么算？我是学渣蒟蒻，我反正不会算，所以我选择拿个计数器（count）来数数。众所周知，线段树是递归创建/更新/查询的，只要我在创建的时候每递归一次，都count++数一数，就知道他用了多少空间了。
完美，这就可以写出build了。
int count = 0；
Main函数里调用：build(r[0] = ++count ,1,n);
void build(int now,int l,int r){
now = count;
if(l == r){
sum[now] = (你读了什么这就是什么);
return;
}
build(lc[now] = ++count, l, (l+r)/2);
build(rc[now] = ++count, (l+r)/2+1, r);
//push_up
sum[now]=sum[lc[now]]+sum[rc[now]];
}
注意，我在填参数的时候写了很多赋值语句，一边建树，一边完成了根节点位置的记录+左右节点位置的记录，是不是很强？
强个鬼，我要是在项目里看到这种代码就打死写它的人。
在这里强烈安利引用写法：
void build(int &now,int l,int r){
now=++count;
if(l==r){
sum[now]=(你读了什么这就是什么);
return;
}
int mid = (l+r)/2;
build(lc[now],l,mid);
build(rc[now],mid+1,r);
//push_up
sum[now]=sum[lc[now]]+sum[rc[now]];
}
打了一个小小的&符号，引用传值，效果一样，不会的同学该回去补C++了。
（本文作者使用Java，Java没有指针的概念，导致作者花了好几个小时去思考怎么写得更帅，这里就不贴了，反正你们也看不懂）
接着是更新(假设是第一次更新，目标改成666)：
Main函数调用：update(r[0],r[1],目标节点,1,n);
void update(int last,int &now,int aim,int l,int r){
now=++count;
lc[now]=lc[last];//把左右子节点的索引复制过来
rc[now]=rc[last];//只是索引，不是值
if(l == r){
sum[now] = 666；
return;
}
int mid=(l+r)/2;
if(aim<=m){//有需要的部分，我们再递归去改
update(lc[last],lc[now],aim,l,mid);
}else{
update(rc[last],rc[now],aim,mid+1,r);
}
sum[now]=sum[lc[now]]+sum[rc[now]];
}
查询操作……没啥变化，只是从通过2i/2i+1访问子节点的方式改成了通过lc/rc数组来访问而已。
本文重点是思想部分，完整代码就不贴了（你知道我是写Java的就不要为难我了）。
主席树还可以解决经典的“区间第k大”问题，鉴于篇幅，可以期待后续推送或者自己去学习。