【主席树】可持久化线段树

主席树

可持久化线段树，又称为主席树，是线段树的进阶版。
本篇文章以可持久化权值线段树为例。如果不会权值线段树可以先学习一下。
【权值线段树】基础入门知识详解

是什么

它可以看作是多棵权值线段树，但它所占的空间很小！！！
具体不易解释，可以先往后面的内容浏览。

为什么要用它

对于一棵权值线段树，我们要往里面加入$n$个数。容易知道，每加入一个数就会更新一遍线段树。
当我们想要知道每次更新后的权值线段树的状态时，如果我们直接用$n$棵线段树，空间一般情况都会爆炸，于是这树我们要用到可持久化线段树——主席树。
假设有这么一串数：$2，4，2，3$
每次更新后的状态如果都用一棵普通权值线段树表示的话，是这样的：

图中红色的节点代表它的值相比上一次修改后的值发生了变化。
在这里，我们不难发现，每次修改只会有添加的值到根节点的一条链上的值发生了变化，而其它的节点和上次修改结束后的都是一样的。
既然如此，我们为什么要每次新建一棵权值线段树呢？每次新建一条链不就好了吗？

先看看它究竟长什么样

注意，前方超高能预警！！！
白色字体为一棵空的树，
红色为第一次添加的节点，
紫色为第二次添加的节点，
绿色为第三次添加的节点，
棕色为第四次添加的节点。
（为了画图好看，左右子树的位置可能相反，也就是可能左子树在右边，右子树在左边，分辨左右子树应看它们的区间所对应的值）

是不是特别震撼！！！现在的你是不是目瞪口呆！！！

怎么实现

首先我们要建立一棵没有值的权值线段树，如上图白色的地方。
修改时每到一个节点，判断要修改的值是在左子树还是右子树，新建将要修改的值所在的子节点，而另一边直接连向上一次修改的对应节点。
同时要记录每次修改的对应根节点编号。
注意：主席树的节点编号不一定满足$v$的左子树为$v*2$和右儿子为$v*2+1$，所以必须用数组记录左右节点的编号。
举例：
如当前要修改$2$，递归到区间$[1,4]$时，$2$在左儿子中，所以新建一个节点$[1,2]$为当前的左儿子，而右儿子就为上一次修改完的区间$[1,4]$的右儿子。

void make(int v,int l,int r)
{
    if(l==r) 
    {
        f[v].sum=0;
        if(v>num) num=v;//先记录空线段树所用的节点数。
        return;
    }
    else
    {
        int mid=(l+r)/2;
        f[v].l=v*2,f[v].r=v*2+1;
        make(v*2,l,mid);
        make(v*2+1,mid+1,r);
    }
}
void add(int v,int v1,int l,int r,int x)
{
    if(l==r)
    {
        f[v1].sum++;
        return;
    }
    else
    {
        int mid=(l+r)/2;
        if(x<=mid)//要修改的数在左子树中。
        {
            f[v1].l=++num;//该节点的左儿子为新建节点。
            f[v1].r=f[v].r;//右儿子为上一次修改后的右儿子。
            add(f[v].l,f[v1].l,l,mid,x);
        }
        else//要修改的数在右子树中。
        {
            f[v1].l=f[v].l;//左儿子为上一次修改后的左儿子。
            f[v1].r=++num;//该节点的右儿子为新建节点。
            add(f[v].r,f[v1].r,mid+1,r,x);
        }
        f[v1].sum=f[f[v1].l].sum+f[f[v1].r].sum;//当前的总和为左右节点的总和之和。
    }
}
root[0]=1;
make(1,1,n);//先建立一棵为空的权值线段树。
for(i=1;i<=n;i++)
{
    root[i]=++num;
    add(root[i-1],root[i],1,n,a[i]);//从上一个根和当前的根一起往下递归。
}

基本用处

求一个序列中，第$x$个数到第$y$个数中的第$k$小值。
和权值线段树求第$k$小值类似，每次从$x-1$和$y$的根节点开始往下递归。
每次的个数即为$y$树中对应个数减去$x-1$树中对应个数的值。

int find(int v,int v1,int l,int r,int k)
{
    if(l==r) return l;
    else 
    {
        int mid=(l+r)/2,s1=f[f[v1].l].sum-f[f[v].l].sum,s2=f[f[v1].r].sum-f[f[v].r].sum;//s1为第x~y个数中范围为[l,mid]的个数，s2为第x~y个数中范围为(mid,r]的个数。
        if(s1>=k) return find(f[v].l,f[v1].l,l,mid,k);
        else return find(f[v].r,f[v1].r,mid+1,r,k-s1);
    }
}
for(i=1;i<=q;i++)
{   
    scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
    printf("%d\n",find(root[x-1],root[y],1,n,k));
}

例题

JZOJ 1011. 【GDKOI2009模拟3】Zoo