【数模系列】02_三大相关系数+Python代码

一、皮尔逊相关系数

在统计学中，皮尔逊相关系数，是用于度量两个变量X和Y之间的相关（线性相关），其值介于-1与1之间，其绝对值越大说明该两个变量越相关。

注意：该系数只能评价两个线性变量之间的相关性。

1、公式推导

①首先由Pearson相关系数的定义可知，
$${\rho }_{x,y}=\frac{cov(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$$

②这里，分子cov表示协方差，分母表示标准差（以两个变量为例）：

$$cov(X,Y)=\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})}{n-1}$$

③皮尔逊相关系数：
$$\rho =\frac{{\sum }_{i=1}^N(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{[{\sum }_{i=1}^N(x_i-\overline{x}{)}^2{\sum }_{i=1}^N(y_i-\overline{y}{)}^2{]}^{\frac{1}{2}}}$$

2、使用条件

Pearson相关系数可用于衡量变量之间的线性相关程度，但有一定的使用条件：

1、在计算皮尔逊相关系必须用spss画出各个变量之间的散点图（相关性可视化）。当然也可以用其他软件，如excel，matlab。若两个变量的散点图呈线性的关系，则可以用皮尔逊相关系数。反之，则不能用。

2、然后再判断总体数据是否满足正态分布。例如：如果你要比较5个变量两两的相关性，这时就要进行判断，方法有很多种，后面会提到。

注意：若以上条件有一不满足，则不能用皮尔逊相关系数。总之，要用皮尔逊相关系数必须满足连续数据，正态分布，线性关系。

3、Python绘图

data.corr(method="pearson")#皮尔逊系数

import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.font_manager import FontProperties
myfont=FontProperties(fname=r'C:\Windows\Fonts\simhei.ttf',size=40)
sns.set(font=myfont.get_name(), color_codes=True)
#corr = df.corr(method='pearson')  # 使用皮尔逊系数计算列与列的相关性
#corr = df.corr(method='kendall')  # 肯德尔秩相关系数
#corr = df.corr(method='spearman') # 斯皮尔曼秩相关系数
data_corr = data.corr(method='pearson')  # 使用皮尔逊系数计算列与列的相关性
plt.figure(figsize=(20,15))#figsize可以规定热力图大小
fig=sns.heatmap(data_corr,annot=True,fmt='.2g',annot_kws={
    
    'fontsize': 20})#annot为热力图上显示数据；fmt='.2g'为数据保留两位有效数字
fig
fig.get_figure().savefig('dingding_corr.png')#保留图片

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns  # 可视化w

inputdata = pd.read_csv('chazhi55.csv')
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 用来正常显示负号

df = inputdata.copy()
_, ax = plt.subplots(figsize=(13, 10))  # 分辨率1200×1000
#corr = df.corr(method='pearson')  # 使用皮尔逊系数计算列与列的相关性
#corr = df.corr(method='kendall')  # 肯德尔秩相关系数
corr = df.corr(method='spearman') # 斯皮尔曼秩相关系数
# 上面三行代表了不同的计算方法，需要哪个就把其他的备注就好
cmap = sns.diverging_palette(220, 10, as_cmap=True)  # 在两种HUSL颜色之间制作不同的调色板。图的正负色彩范围为220、10，结果为真则返回matplotlib的colormap对象
_ = sns.heatmap(
    corr,  # 使用Pandas DataFrame数据，索引/列信息用于标记列和行
    cmap=cmap,  # 数据值到颜色空间的映射
    square=True,  # 每个单元格都是正方形
    cbar_kws={
    
    'shrink': .9},  # `fig.colorbar`的关键字参数
    ax=ax,  # 绘制图的轴
    annot=True,  # 在单元格中标注数据值
    annot_kws={
    
    'fontsize': 20})  # 热图，将矩形数据绘制为颜色编码矩阵
plt.show()
plt.get_figure().savefig('斯皮尔曼秩相关系数热力图.png')#保留图片

二、斯皮尔曼秩相关系数

斯皮尔曼的计算公式为：

$$p=1-\frac{6\sum d_i^2}{n^3-n},其中di表示顺序的差值，n表示数据个数。$$

斯皮尔曼相关系数被定义成等级之间的皮尔逊相关系数。等级按照从小到大排序。

满足皮尔逊相关系数的使用条件和检验条件则使用皮尔逊相关系数。
只要其中一个条件不满足则使用斯皮尔曼等级相关系数。另外两个定序数据之间的相关系数求解也用斯皮尔曼。斯皮尔曼相关系数的适用条件比皮尔逊相关系数要广。

1、如何选择皮尔逊和斯皮尔曼

皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数：

• 如果数据是连续的、正态分布的，并且是线性的，优先使用皮尔逊相关系数。当然，也可以使用斯皮尔曼，但效率没有皮尔逊高(因为要进行排序)。
  

• 如果前面几个条件有一个不满足，则使用斯皮尔曼相关系数；皮尔逊相关系数适用于线性关系，而斯皮尔曼相关系数适用于单调关系，线性与单调的一个区别是，线性关系的斜率是固定的。
  

• 如果数据看上去，既有点像线性关系，又有点像单调关系，那么使用斯皮尔曼相关系数；皮尔逊相关系数使用元数据进行计算的，而斯皮尔曼相关系数是基于秩计算的。

data.corr(method="spearman")#斯皮尔曼秩相关系数

三、肯德尔秩相关系数

肯德尔相关性系数，又称肯德尔秩相关系数，它也是一种秩相关系数，不过它所计算的对象是分类变量。

分类变量可以理解成有类别的变量，可以分为：

• 无序的，比如性别（男、女）、血型（A、B、O、AB）；
• 有序的，比如肥胖等级（重度肥胖，中度肥胖、轻度肥胖、不肥胖）。

通常需要求相关性系数的都是有序分类变量。举个例子。比如评委对选手的评分（优、中、差等），我们想看两个（或者多个）评委对几位选手的评价标准是否一致；或者医院的尿糖化验报告，想检验各个医院对尿糖的化验结果是否一致，这时候就可以使用肯德尔相关性系数进行衡量。

data.corr(method="kendall")#肯德尔秩相关系数