[数学公式]常用数学公式（一）——高等数学

1. 自然常数$e$$=\lim_{x\rightarrow \infty} = (1 + \frac{1}{x})^x = e$；
2. 导数就是曲线的斜率，反映曲线改变的快慢；
3. 二阶导数反映斜率改变的快慢，表征曲线的凹凸性；
4. 常用函数的导数：
   
   1. $C'=0$
   2. $(x^n)'=nx^{n-1}$
   3. $(\sin x)'=\cos x$
   4. $(\cos x)'=-\sin x$
   5. $(a^x)'=a^x\ln a$
   6. $(e^x)'=e^x$
   7. $(log_ax)'=\frac{1}{x}\log_ae$
   8. $(\ln_x)'=\frac{1}{x}$
   9. $(u+v)'=u'+v'$
   10. $(uv)'=u'v+uv'$
5. 积分的应用：
   
   1. 求解幂指函数$f(x)=x^x（x>0）$的最小值：
   2. 求解$\ln N!$：
      $\ln N!=\sum_{i=1}^N \ln i \approx \int_{1}^{N}\ln xdx$
      $=x\ln x|_{1}^{N} - \int_{1}^{N} xd\ln x（由分部积分得）$
      $=N\ln N - \int_{1}^{N}1dx（由d\ln x=(\ln x)'=\frac{1}{x}dx得）$
      $=N\ln N - N + 1$
      $\rightarrow N(lnN - 1)$
   3. 分部积分公式：由$(uv)'=uv'+u'v$，得$uv' = (uv)' - u'v$ 或$u'v = (uv)' - uv'$。两边同时积分，得$\int udv = uv - \int vdu$或$\int vdu = uv - \int udv$
      综上，分部积分公式：$\int_a^bu\frac{dv}{dx}dx=[uv]_a^b - \int_a^bv\frac{du}{dx}dx$
6. 泰勒公式(Taylor公式)和麦克劳林公式：
   
   1. 泰勒公式： $$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(x_0)\frac{(x-x_0)^2}{2!}+\cdot\cdot\cdot+f^{(n)}(x_0)\frac{(x-x_0)^n}{n!}+R_n(x)$$
   2. 麦克劳林公式： $$f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)\frac{x''}{2!}+\cdot\cdot\cdot+f^{(n)}(0)\frac{x^{(n)}}{n!}+O(x^n)$$
   3. 泰勒公式的应用：
      
      1. $\sin x =x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} + \cdot\cdot\cdot +(-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!} + R_{2m}$
      2. $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdot\cdot\cdot + \frac{x^n}{n!} + R_n$
7. 方向导数：如果函数$z=f(x,y)$在点P(x,y)是可微分的，那么，函数在该点沿任一方向$L$的方向导数都存在，且有： $$\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos \varphi + \frac{\partial f}{\partial y}\sin \varphi$$
   其中，$\varphi$为$x$轴到方向$L$的转角
8. 梯度：设函数$z=f(x,y)$在平面区域D内有一阶连续偏导数，则对于每一个点$P(x,y)\in D$，向量 $$(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$$ 为函数$z=f(x,y)$在点$P$的梯度，记作$grad f(x,y)$
   梯度的方向是函数在该点变化最快的方向（考虑一座解析式为$z=H(x,y)$的山，在$(x_0,y_0)$的梯度是在该点坡度变化最快的方向）
   方向导数和梯度详细介绍