NOIP 2010 普及组初赛 第28题 过河问题

【题目】

NOIP 2010 普及组初赛试题 第28题 过河问题
完善程序:
(过河问题)在一个月黑风高的夜晚,有一群人在河的右岸,想通过唯一的一根独木桥走到河的左岸。在这伸手不见五指的黑夜里,过桥时必须借助灯光来照明,很不幸的是,他们只有一盏灯。另外,独木桥上最多承受两个人同时经过,否则将会坍塌。每个人单独过桥都需要一定的时间,不同的人需要的时间可能不同。两个人一起过桥时,由于只有一盏灯,所以需要的时间是较慢的那个人单独过桥时所花的时间。现输入 n(2≤n<100) 和这 n 个人单独过桥时需要的时间,请计算总共最少需要多少时间,他们才能全部到达河的左岸。

例如,有 3 个人甲、乙、丙,他们单独过桥的时间分别为 1,2,4,则总共最少需要的时间为 7。具体方法是:甲、乙一起过桥到河的左岸,甲单独回到河的右岸将灯带回,然后甲、丙再一起过桥到河的左岸,总时间为 2+1+4=7。

#include <iostream>
using namespace std;

const int SIZE = 100;
const int INFINITY = 10000;
const bool LEFT = true;
const bool RIGHT = false;
const bool LEFT_TO_RIGHT = true;
const bool RIGHT_TO_LEFT = false;

int n, hour[SIZE];
bool pos[SIZE];

int max(int a, int b)
{
    
    
    if (a > b)
        return a;
    else
        return b;
}

int go(bool stage)
{
    
    
    int i, j, num, tmp, ans;
    if (stage == RIGHT_TO_LEFT) {
    
    
        num = 0;
        ans = 0;
        for (i = 1; i <= n; i++)
            if (pos[i] == RIGHT) {
    
    
                num++;
                if (hour[i] > ans)
                    ans = hour[i];
            }
        if ([])
            return ans;
        ans = INFINITY;
        for (i = 1; i <= n - 1; i++)
            if (pos[i] == RIGHT)
                for (j = i + 1; j <= n; j++)
                    if (pos[j] == RIGHT) {
    
    
                        pos[i] = LEFT;
                        pos[j] = LEFT;
                        tmp = max(hour[i], hour[j]) +[];
                        if (tmp < ans)
                           ans = tmp;
                        pos[i] = RIGHT;
                        pos[j] = RIGHT;
                    }
        return ans;
    }
    if (stage == LEFT_TO_RIGHT) {
    
    
        ans = INFINITY;
        for (i = 1; i <= n; i++)
            if ([]) {
    
    
                pos[i] = RIGHT;
                tmp =[];
                if (tmp < ans)
                    ans = tmp;
            [];
            }
        return ans;
    }
    return 0;
}

int main()
{
    
    
    int i;
        
    cin>>n;
    for (i = 1; i <=n; i++) {
    
    
        cin>>hour[i];
        pos[i] = RIGHT;
    }
    cout<<go(RIGHT_TO_LEFT)<<endl;
    return 0;
}

请填空,完善程序。

【题目考点】

1. 深搜

【解题思路】

先看主函数,得知hour[i]表示第i人过河的时长,pos[i]是第i人的位置。看到cout<<go(RIGHT_TO_LEFT)<<endl;,可知go函数参数是传入过河的阶段(左到右还是右到左),返回值是所有人从右到左的总时长。
看go函数if (stage == RIGHT_TO_LEFT)下的代码块,如果从右至左移动:

 num = 0;
 ans = 0;
 for (i = 1; i <= n; i++)
     if (pos[i] == RIGHT) {
    
    
         num++;
         if (hour[i] > ans)
             ans = hour[i];
     }

看这段代码可知,num是统计此时在河岸右边的人数,ans是求河岸右边的人中过河时间最长的人。
接下来是:if ([ ① ]) return ans;,考虑什么情况下就应该直接返回结果了呢?河岸右侧最少应该是2人。(总人数大于等于2人,不可能只有右侧1人拿灯。如果右侧只有1人,还拿着灯,这个灯是谁送来的呢?)如果河岸右侧只有2人,这2人,就直接一起走到左岸了,时间为这两人中过河时间最长的时间,也就是ans。
所以第①空填num <= 2num == 2
然后看:

ans = INFINITY;
for (i = 1; i <= n - 1; i++)
    if (pos[i] == RIGHT)
        for (j = i + 1; j <= n; j++)
            if (pos[j] == RIGHT) {
    
    
                pos[i] = LEFT;
                pos[j] = LEFT;
                tmp = max(hour[i], hour[j]) +[];
                if (tmp < ans)
                   ans = tmp;
                pos[i] = RIGHT;
                pos[j] = RIGHT;
            }

此时ans的值被重置为无穷大了,概念很可能就变了。而且下面也没再用到num。外层i从1到n-1,内层j从i+1开始到n,这是在枚举两个不同元素的下标与j。
观看if语句下的结构,先让i,j走到左侧,再让i,j变回为右侧。学过搜索的同学看这个结构应该比较眼熟,这就是搜索回溯中的:设置状态与还原状态,在二者之间应该做的就是搜索下一层,所以这里该做深搜了。②处应该递归搜索下一层。
返回的ans是所有人走到左侧的最小总时间,而观察代码可知ans是每次求出的tmp的最小值,那么tmp就是当前选中i,j从右侧走到左侧时,所有人从右侧到左侧的最小时间,max(hour[i], hour[j])是这一次i,j从右侧走到左侧的时间,②处应该是其余所有人从右侧到左侧的最短时间,应该递归调用go函数,下一次过河的阶段是从左到右,所以②处填写:go(LEFT_TO_RIGHT)

if (stage == LEFT_TO_RIGHT) {
    
    
     ans = INFINITY;
     for (i = 1; i <= n; i++)
         if ([]) {
    
    
             pos[i] = RIGHT;
             tmp =[];
             if (tmp < ans)
                 ans = tmp;
         [];
         }
     return ans;
 }

接着是从左侧到右侧的情况,我们直接想,从左侧到右侧,只是需要找一个过河时间最短的人把灯拿到右岸。
③处判断如果人在左侧:pos[i] == LEFT,那么让他到右侧,ans是tmp的最小值,返回的ans应该是所有人从右侧到左侧的最小时间,所以tmp应该是这一次让第i人从左侧到右侧,然后继续直到所有人完成过河需要的最小时间。所以tmp应该是i的过河时间加上下一阶段过河的最小时间,④处填hour[i]+go(RIGHT_TO_LEFT)
最后还需要状态还原,⑤填pos[i] = LEFT

【答案】

① num <= 2 / num < 3 / num == 2
② go(LEFT_TO_RIGHT)
③ pos[i] == LEFT / LEFT == pos[i]
④ hour[i] + go(RIGHT_TO_LEFT) / go(RIGHT_TO_LEFT) + hour[i]
⑤ pos[i] = LEFT

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