前言

博主参与八次数学建模大赛，其实数学建模和大数据分析有很多相似之处，可以说差不多是共通的。经历了这么多次比赛个人总结一些建模必备的数据分析方法是必须要完全掌握。在人类发展的历史上，马尔可夫链是第一个从理论上被提出并加以研究的随机过程模型。在我以前的机器学习模型学习研究中，马尔可夫链算法可算是用途最广泛的算法之一了。现代生活可以说的上是基本都蕴含着马尔科夫链基础算法原理所在，要理解马尔科夫链算法原理并不难，但是衍生思想和优化思想却很难让人考虑到。特别是基于现在大数据时代，海量数据统计下概率匹配是相当恐怖的，使用马尔科夫衍生算法能够渗透到很多方面。本篇文章将详细讲述马尔科夫链基本算法原理和使用案例。

理论比较难以一下明白，但是通过例子就好理解了。这里我们采用倒叙方法先从一个简单的案例入手，再到解释原理：

一、目标案例

我们拿一个场景的地铁拥堵系数来进行分析：

1.需求

我周一到周五都需要坐地铁上班，但是经常会发生地铁拥堵的情况，我把地铁拥堵系数设置为三个可选参数（1,2,3）。1代表地铁很拥堵，人挤人，体验感很差都不想坐地铁了。2代表地铁还行，虽然挤但是还算的过去。3代表通畅，地铁里面都没什么人来坐，随随便便就能找到个座位。那么我前一个小时坐地铁的情况都记录了下来，如何判断我将来一个小时的地铁拥堵情况呢？

面对这种情况我们并没有像传统的机器学习算法可用的特征，能够在强关联特征时序或者前后顺序下预测出后一个标签，那么马尔科夫模型就很适用。

2.依赖

要想开展马尔科夫算法需要两个依赖条件：

第一我们要清楚前一个小时中，我们了解到站一个站台为5分钟，这里我们需要根据上一个站的情况，统计并计算后一个站拥堵系数情况的状态发生概率，由于我们这里有三种拥堵系数状态，故为一个一维矩阵：[0.3，0.4,0.3].该矩阵我们称之为（状态分布矩阵S）

第二个站台之间是具有强关联性质的，也就是说路过了上一个站台那么下一个站台发生拥堵的可能性是具有一定的规律性的，有一定的概率可以统计得出。

比如我们这里设置：

当前一个站台拥堵系数为1时，后一个站台拥堵系数为1的概率为0.6，为2的概率为0.2，为3的概率为0.2.

当前一个站台拥堵系数为2时，后一个站台拥堵系数为1的概率为0.5,为2的概率为0.2,为3的概率为0.3

当前一个站台拥堵系数为3时，后一个站台拥堵系数为1的概率为0.2,为2的概率为0.4,为3的概率为0.4

这里我们可以构建一个矩阵：

前一个站台拥堵系数概率\后一个站台拥堵系数概率	1	2	3
1	0.6	0.2	0.2
2	0.5	0.2	0.3
3	0.2	0.4	0.4

而我们构建的这个矩阵就是转移概率矩阵P，它是时间齐次性的，也就是说转移概率矩阵P它是保持不变的，前一站台到后一站台的转移概率矩阵跟后一站台到再后一站台的转移概率矩阵是一样的。

3.计算

有了这个转移概率矩阵P，再加上已知的第一天的状态分布矩阵，就可以计算出N天后的状态分布了。

站台状态分布矩阵	计算公式
S2	S1*P
S3	S2*P
S4	S3*P
Sn	Sn-1*P

以上来看马尔科夫链算法预测出来的过程只取决与现在。当然和历史数据存在间接关系。

4.Python模拟

import numpy as np

matrix = np.matrix([[0.6, 0.2, 0.2],
                    [0.5, 0.2, 0.3],
                    [0.2, 0.4, 0.4]])
vector1 = np.matrix([[0.3, 0.4, 0.3]])

for i in range(50):
    vector1 = vector1 * matrix
    print('第{}轮'.format(i+1))
    print(vector1)

我们会发现最后几站的概率会逐渐的收敛为一个固定的概率矩阵。

第44轮
[[0.46153846 0.25641026 0.28205128]]
第45轮
[[0.46153846 0.25641026 0.28205128]]
第46轮
[[0.46153846 0.25641026 0.28205128]]
第47轮
[[0.46153846 0.25641026 0.28205128]]
第48轮
[[0.46153846 0.25641026 0.28205128]]
第49轮
[[0.46153846 0.25641026 0.28205128]]
第50轮
[[0.46153846 0.25641026 0.28205128]]

此时我们修改初始第一个站台的拥堵系数的概率：

import numpy as np

matrix = np.matrix([[0.6, 0.2, 0.2],
                    [0.5, 0.2, 0.3],
                    [0.2, 0.4, 0.4]])
vector1 = np.matrix([[0.6, 0.2, 0.2]])

for i in range(50):
    vector1 = vector1 * matrix
    print('第{}轮'.format(i+1))
    print(vector1)

第45轮
[[0.46153846 0.25641026 0.28205128]]
第46轮
[[0.46153846 0.25641026 0.28205128]]
第47轮
[[0.46153846 0.25641026 0.28205128]]
第48轮
[[0.46153846 0.25641026 0.28205128]]
第49轮
[[0.46153846 0.25641026 0.28205128]]
第50轮
[[0.46153846 0.25641026 0.28205128]]

由此我们得到一个非常重要的性质：马尔可夫链模型的状态转移矩阵收敛到的稳定概率分布与初始状态概率分布无关。

看完上述案例后我们再由理论过一遍理解的更加透彻

二、马尔科夫链

马尔可夫链（Markov Chain, MC）是概率论和数理统计中具有马尔科夫性质（Markov property）且存在于离散的指数集（index set）和状态空间（state space）内的随机过程（stochastic process）。适用于连续指数集的马尔可夫链被称为马尔科夫过程（Markov process），但有时也被视为马尔可夫链的子集，即连续时间马尔科夫链（Continuous-Time MC, CTMC），与离散时间马尔可夫链（Discrete-Time MC, DTMC）相对应，因此马尔可夫链是一个较为宽泛的概念。

马尔可夫链可通过转移矩阵和转移图定义，除马尔可夫性外，马尔可夫链可能具有不可约性、常返性、周期性和遍历性。一个不可约和正常返的马尔可夫链是严格平稳的马尔可夫链，拥有唯一的平稳分布。遍历马尔可夫链（ergodic MC）的极限分布收敛于其平稳分布。

马尔可夫链可被应用于蒙特卡洛方法中，形成马尔可夫链蒙特卡罗（Markov Chain Monte Carlo, MCMC），也被用于动力系统、化学反应、排队论、市场行为和信息检索的数学建模。此外作为结构最简单的马尔科夫模型（Markov model），一些机器学习算法，例如隐马尔科夫模型（Hidden Markov Model, HMM）、马尔科夫随机场（Markov Random Field, MRF）和马尔科夫决策过程（Markov decision process, MDP）以马尔可夫链为理论基础。

二、马尔科夫性质

马尔可夫性质是概率论中的一个概念，因为俄国数学家安德雷·马尔可夫得名。当一个随机过程在给定现在状态及所有过去状态情况下，其未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态；换句话说，在给定现在状态时，它与过去状态（即该过程的历史路径）是条件独立的，那么此随机过程即具有马尔可夫性质。具有马尔可夫性质的过程通常称之为马尔科夫过程。

马尔可夫链中随机变量的状态随时间步的变化被称为演变（evolution）或转移（transition）。这里介绍描述马尔可夫链结构的两种途径，即转移矩阵和转移图，并定义了马尔可夫链在转移过程中表现出的性质。

马尔可夫链中随机变量间的条件概率可定义为如下形式的（单步）转移概率和n-步转移概率