【C/C++】719. 找出第 K 小的数对距离

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题目链接：719. 找出第 K 小的数对距离

题目描述

数对 (a,b) 由整数 a 和 b 组成，其数对距离定义为 a 和 b 的绝对差值。

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，数对由 nums[i] 和 nums[j] 组成且满足 $0 \leqslant i < j < nums.length$ 。返回 所有数对距离中 第 k 小的数对距离。

提示:

$n == nums.length$
$2 \leqslant n \leqslant 10^4$
$0 \leqslant nums[i] \leqslant 10^6$
$1 \leqslant k \leqslant n * (n - 1) / 2$

示例 1：

输入：nums = [1,3,1], k = 1
输出：0
解释：数对和对应的距离如下：
(1,3) -> 2
(1,1) -> 0
(3,1) -> 2
距离第 1 小的数对是 (1,1) ，距离为 0 。
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示例 2：

输入： nums = [1,1,1], k = 2
输出： 0
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示例 3：

输入： nums = [1,6,1], k = 3
输出： 5
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整理题意

题目给定一组整数数组 nums 和一个整数 k，找到数组中所有数对差值的绝对值第 k 小的数对，返回这个绝对差值。

需要注意的是数对必须是数组中两个下标不同的数对，且 [i, j] 和 [j, i] 算一对数对。

解题思路分析

观察题目数据范围可知，由于数组大小在 $10^4$ 以内，双层循环暴力寻找并记录所有数对差值的绝对值，再寻找数对差值的绝对值第 k 小的数对，时间复杂度为 $O(n^2)$ ，会超时 TLE。

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可以注意到由于是 数对差值的绝对值，所以无需保证下标 i < j，即 i > j 也行，但是要保证 i ≠ j，那么我们可以对数组进行排序处理。

又由于绝对差值越大，在这个绝对差值之内的数对数量就越多，是一个正比关系，那么我们可以通过 二分绝对差值 mid，然后统计小于等于绝对差值 mid 的数对个数 cnt，那么此时的 mid 就是所有数对中第 cnt 小的绝对差值。

那么如何统计小于等于绝对差值 mid 的数对个数 cnt 呢，我们可以通过枚举左区间或者右区间，然后在有序数组中通过 mid 再次二分 寻找另一个区间边界，由于我们固定了左区间或右区间边界，相当于固定了数对中的其中一个数，此时区间内除固定的边界元素外所有元素都可作为数对的另一个数，都满足绝对差值小于等于 mid，所以可以直接计算当区间一个端点固定时数对个数即为：右区间下标减去左区间下标。

找到第一个 cnt 大于等于 k 的 mid，作为答案值返回。

优化

第二次二分可以利用双指针进行优化，给定距离 mid，计算所有绝对差值小于等于 mid 的数对数目 cnt 可以使用双指针：初始左端点 i = 0，我们从小到大枚举所有数对的右端点 j（也就是固定右端点），找到第一个 $\textit{nums}[j] - \textit{nums}[i] \le \textit{mid}$ 左端点，那么右端点为 j 且绝对差值小于等于 mid 的数对数目为 j - i，累加求和所有数对即可。

具体实现

对数组 nums 进行升序排序；
初始化二分绝对差值区间为 [0, nums.back() - nums.front()]，也就是数组 nums 中最大值与最小值的差值。
对于当前二分的绝对差值 mid，统计所有绝对差值小于等于 mid 的数对数量 cnt，如果 cnt ≥ k，那么需要在较小的一半中继续二分绝对差值 mid，否则在较大的一半中继续二分查找绝对差值。返回第一个大于等于 cnt 的 mid。
给定绝对差值 mid，计算所有绝对差值小于等于 mid 的数对数目 cnt 可以使用二分查找：枚举所有数对的右端点 j，在有序数组中二分查找大于等于 nums[j] − mid 的最小值的下标 i，那么右端点为 j 且距离小于等于 mid 的数对数目为 j - i，依次累加求和即可。

这样枚举右端点来计算数对数量可以避免不重不漏。

优化

将第二次二分利用双指针进行优化，我们从小到大枚举所有数对的右端点 j（也就是固定右端点），找到第一个 $\textit{nums}[j] - \textit{nums}[i] \le \textit{mid}$ 左端点 i，那么右端点为 j 且绝对差值小于等于 mid 的数对数目为 j - i，累加求和所有数对即可。由于 i 指针和 j 指针只增不减，所以双指针计算所有绝对差值小于等于 mid 的数对数目的时间复杂度为 O(n)。

复杂度分析

时间复杂度： $O(nlogn×logD)$ ，其中 n 是数组 nums 的长度， $D = \max(\textit{nums}) - \min(\textit{nums})$ 。外层二分查找需要 $O(\log D)$ ，内层二分查找需要 $O(n \log n)$ 。
空间复杂度： $O(logn)$ 。排序的平均空间复杂度为 $O(\log n)$ 。
优化后的时间复杂度： $O(n \times (\log n + \log D))$ ，其中 n 是数组 nums 的长度， $D = \max(\textit{nums}) - \min(\textit{nums})$ 。外层二分查找需要 $O(\log D)$ ，内层双指针需要 $O(n)$ ，排序的平均时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。

代码实现

两次二分

class Solution {
public:
    int smallestDistancePair(vector<int>& nums, int k) {
        //升序排序
        sort(nums.begin(), nums.end());
        int n = nums.size();
        //初始化二分距离区间
        int l = -1, r = nums.back() - nums.front() + 1;
        while(l + 1 != r){
            int mid = (l + r) >> 1;
            //计算距离小于mid的数对个数
            int cnt = 0;
            //枚举右区间计算个数
            for(int i = 0; i < n; i++){
                //二分计算区间左端点
                int j = lower_bound(nums.begin(), nums.begin() + i, nums[i] - mid) - nums.begin();
                //累加个数
                cnt += (i - j);
            }
            //找第一个大于等于k的
            if(cnt >= k) r = mid;
            else l = mid;
        }
        return r;
    }
};
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双指针优化

class Solution {
public:
    int smallestDistancePair(vector<int>& nums, int k) {
        //升序排序
        sort(nums.begin(), nums.end());
        int n = nums.size();
        //初始化二分距离区间
        int l = -1, r = nums.back() - nums.front() + 1;
        while(l + 1 != r){
            int mid = (l + r) >> 1;
            //计算距离小于mid的数对个数
            int cnt = 0;
            //双指针计算个数
            int i = 0, j = 0;
            while(j < n){
                //不满足条件时移动左指针
                while(nums[j] - nums[i] > mid) i++;
                //满足条件计算个数
                cnt += (j - i);
                //每次移动一次右指针
                j++;
            }
            //找第一个大于等于k的
            if(cnt >= k) r = mid;
            else l = mid;
        }
        return r;
    }
};
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总结

该题核心思路为排序，需要注意题目给定的限制 $0 \leqslant i < j < nums.length$ ，由于是差值的绝对值，所以即便 i > j 也是可以的，但是 i 和 j 不能相等。
在统计计算所有绝对差值小于等于 mid 的数对数目 cnt 时可以使用二分和双指针两种方法，由于双指针做法时间复杂度更优，所以更推荐双指针做法。
在统计数对时，我们采用固定其中一个端点，寻找另一个端点的最大范围，在该范围内的值都可以作为另一个端点，这样可以快速计算数对数量，并且避免了重复计算，也就是能够不重不漏的计算所有符合条件的数对。
测试结果：

将第二次二分利用双指针进行优化： 719二分+双指针.png 可以看见测试结果中优化效果还是很明显的。

结束语

无惧困难的人，往往看起来自信满满，脸上挂着一抹暖暖的微笑。他们并非生活上事事如意，只是明白，能击败苦难的永远是乐观与微笑。新的一天，愿你更加自信从容地面对生活。