【二叉树】所有可能的满二叉树

0x00 题目

满二叉树是一类二叉树
其中每个节点恰好有 0 或 2 个子节点
返回包含 N 个节点的所有可能满二叉树的列表
答案的每个元素都是一个可能树的根节点
答案中每个树的每个节点都必须有 node.val = 0
你可以按任何顺序返回树的最终列表

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0x01 思路

每个节点恰好有 0 或 2 个子节点
那么加上当前节点
总共是 1 或 3 个节点
所以子节点也只能是 1 个 或 3 个
进而推断出，只有奇数个时
才能构成满二叉树

由于每个元素都是一个可能树的根节点
以 i 为根节点，则
0 到 i-1 构成左子树
i+1 到 N-1 构成右子树
左右子树也是满二叉树
于是原问题变成了更小规模的问题
使用递归来解决

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0x02 解法

语言：Swift

树节点：TreeNode

public class TreeNode {
    public var val: Int
    public var left: TreeNode?
    public var right: TreeNode?
    public init() { self.val = 0; self.left = nil; self.right = nil; }
    public init(_ val: Int) { self.val = val; self.left = nil; self.right = nil; }
    public init(_ val: Int, _ left: TreeNode?, _ right: TreeNode?) {
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right
    }
}

解法：

func allPossibleFBT(_ n: Int) -> [TreeNode?] {
    // 构建过程中，递归存在重复计算，缓存结果
    var cache: [Int:[TreeNode?]] = [:]
    
    func build(_ n: Int) -> [TreeNode?] {
        if n == 0 { return [] }
        if n == 1 { return [TreeNode(0)] }
        
        var res: [TreeNode?] = []
        
        var i = 1
        while i < n - 1 {
            // 左子树集合
            var leftTrees = cache[i]
            if leftTrees == nil {
                leftTrees = build(i)
            }
            
            // 右子树集合
            var rightTrees = cache[n-i-1]
            if rightTrees == nil {
                rightTrees = build(n-i-1)
            }
            
            // 分别从左子树集合中，右子树集合中，拿出一棵子树，组成一棵完整的树
            for left in 0..<leftTrees!.count {
                for right in 0..<rightTrees!.count {
                    let node = TreeNode(0)
                    node.left = leftTrees![left]
                    node.right = rightTrees![right]
                    res.append(node)
                }
            }
            
            // 偶数个时，无法构建满二叉树，所以遍历奇数
            i += 2
        }
        
        cache[n] = res
        return res
    }
    
    let res = build(n)
    return res
}

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