【工程/物理光学（一）——光的电磁理论基础】

工程/物理光学

【工程/物理光学（二）——光的成像技术】
【工程/物理光学（三）——光的干涉】
【工程/物理光学（四）——光的衍射技术】
【工程/物理光学（五）——激光技术】

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【写在前面：本文作为个人《物理光学》的学习记录，仅希望能够用较为简单的方法来阐述和理解物理光学，不涉及许多高深的物理公式推导，本文主要参考书为清华大学出版社1、范希智老师的《物理光学》和2、田芊等老师的《工程光学》】

一、光的波动理论

光波包括红外光、可见光和紫外光，光频率$\nu$ 与波长$\lambda$ 之间的关系如下，c为光速：
$$\nu =c/\lambda$$
光波中各波长及频率对应范围如下表所示：

光波	频率	波长
红外光	1012~4.3X1014	300~0.7$\mu$m
可见光	4.3X1014 ~7.5X1014	0.7~0.4$\mu$m
紫外光	7.5X1014~1016	0.4~0.03$\mu$m
需要注意的是，光波是电磁波，是高频振动的电场E和磁场B在空间的传播（也可称为光振动，注意下文中会经常光振动）。

麦克斯韦方程组：电场高斯定律、磁场高斯定律、法拉第电磁感应定律、麦克斯韦-安培定律

      想要深入学习本部分内容需要了解麦克斯韦方程组，可以看这篇文章: 最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（积分篇），里面较为详细直观地介绍了麦克斯韦方程组。根据麦克斯韦方程组可以导出电磁场波动方程，进一步可以得到电磁波在传播介质中的绝对折射率: （${\epsilon }_r和{\mu }_r$分别为相对介电系数和相对磁导率，${\mu }_r$与光频率有关）
$$n=c/\nu =\sqrt{\frac{\epsilon \mu }{{\epsilon }_0{\mu }_0}}=\sqrt{{\epsilon }_r{\mu }_r}$$
下面为几种典型的光波。

1. 平面波： 平面波指波面（波动中任意时刻振动状态相同或者说相位相同的各点所组成的面）为一平面波，无穷远光源发出的光即为平面波；
2. 球面波： 等相面为球面，且等相位上振幅处处相等的光波，点光源发出的光即为球面波，球面波振幅随与传播距离r成反比；
3. 柱面波： 由同步线光源所产生，同步的意思是光振动在整条线上的所有点都是一个点源，且振动状态完全一致；
4. 高斯光波： 由激光器产生的激光波束，以基模高斯光波为例，其在横截面内的光电场振幅分布服从高斯分布，从中心向外减小，故定义振幅下降到中心处振幅的1/e处对应的半径为光斑半径，如下图所示：

二、光的折射与反射

1、光的折反射和菲涅尔定律

先给出两个众所周知的光的折、反射定律（斯涅尔定律）：

1. 入射角=反射角；
2. 折射角的正弦值与对应的折射率成反比；

      在知道光传播方向的基础上，利用麦克斯韦方程组可以推导出菲涅尔公式，该公式中展示了光折射与反射时振幅的变化，其中$r$和$t$分别为反射和折射系数，即振幅的比值。$s$和$p$分别表示垂直和平行入射面，${\theta }_i$为入射角，${\theta }_t$为折射角。
$$反射系数：r_s=-\frac{sin({\theta }_i-{\theta }_t)}{sin({\theta }_i+{\theta }_t)}{r}_p=-\frac{tan({\theta }_i-{\theta }_t)}{tan({\theta }_i+{\theta }_t)}$$
$$折射系数：t_s=\frac{2cos{\theta }_{i}sin{\theta }_i}{sin({\theta }_i+{\theta }_t)}{t}_p=\frac{4cos{\theta }_{i}sin{\theta }_i}{sin2{\theta }_i+sin2{\theta }_t}$$

      利用菲涅尔公式可以对反射与折射(透射)的性质进行深入讨论（如反射率和折射率），以布鲁斯特角(入射角${\theta }_B$)为例，对于$r_p$，由上面第二个公式可以得到，当某特定入射角${\theta }_B+{\theta }_t=90°$时，$r_p=0$，此时不论入射波电场振动如何，反射波不含p分量，反射光为线偏振光，利用这一特点可以测量光学介质的折射率。

2、光的全反射

      根据上文中关于折射定律、反射定律以及菲涅尔定律的讨论，不难发现，当光从光密介质到光疏介质时，即$n_i>n_t$，此时${\theta }_t>{\theta }_i$。当${\theta }_t=90°$时对应的入射角被称为全反射临界角${\theta }_c$：
$$sin{\theta }_c=\frac{{\theta }_i}{{\theta }_t}$$
      入射角大于临界角以后，入射的全部光能都会被反射回去，正因此被称为全反射。但在发生全反射时，反射光波中的$s$和$p$分量会发生相位改变（仅当入射角等于临界角时不变），进而引起光的偏振态的变化。同时利用偏振态的变化可以反推全反射引起$s$和$p$分量的相位变化（具体可以参看菲涅尔棱镜实验：线偏振光——圆偏振光——线偏振光）
      最后，需要注意的是：虽然被称为全反射，但理论与实验都可以证明在光疏介质里面有效深度在波长量级的地方存在隐失波场，随深度增加其振幅呈指数减小（可参看受抑全反射实验）。最后介绍两种全反射的应用。
1）光纤传光的原理
      光纤传光原理如下图所示，光从光纤端面以$\phi$角入射加入光纤，之后又以$\theta$角到达光纤纤芯和包层分界面处，要保证$\theta$角大于临界角，为此要使得$\phi$角的最大值为${\phi }_m$：
$$sin{\phi }_m=\frac{1}{n_0}\sqrt{n_1^2-n_2^2}$$
      故通常将$n_{0}sin{\phi }_m$称为数值孔径$NA$：
$$NA=\sqrt{n_1^2-n_2^2}=n_1\sqrt{2\delta }$$
      其中，$\delta =\frac{n_1-n_2}{n_1}$，一般光纤的$\delta$值为：0.01~0.05。

2）阿贝折射计：测量液体媒质的折射率
      如下图所示，折射棱镜折射率$n_1$大于透明液体折射率$n$，当入射光沿着BA进入棱镜发生全反射，再由AC面以折射角$i$射出，挡住入射角大于90°的光线，就可以在AC面观察到明暗分明的视场，根据视场分布情况反推折射角$i$即可算出待测液体的折射率。
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3、光在金属表面的反射

      由于金属的导电性会使得电磁波在金属中传播的时候被强烈吸收，同时电磁能导致导体内出现电流，进而转变为热能，具体表现就是金属对光波具有强吸收和强反射作用，故一般只研究其反射波的特性（除金属薄膜外）。
     当电磁波透入金属表面深度为$d$后，其强度降为原来的$1/e$，该深度被称为透入深度。至于金属表面的折反射，由于需要引入复折射率、复数域的菲涅尔定律等，暂时不做详细介绍，只需要先了解，光波在金属表面的反射具有如下特点：
1）改变光的偏振态：偏振态的改变与入射角和分界面两侧介质的物质常数相关；
2）高反射率：利用这一特性光学技术当中常把Al,Ag,Cr,Au等蒸渡在光学元件表面作为反射镜，这几种金属在较大范围波段内都具有较高的反射率，发射比随波长变化如下图所示：

三、光的吸收和散射

1、光的吸收

     光波通过媒介后，光强度减弱的现象称为光的吸收，可以用吸收系数K来进行描述（只有真空能对任意波长的光波完全透明）。
     假设平行光在均匀媒介中传播$dl$距离后，由于媒介的吸收，光强从$I$减少到$I-dI$，朗伯总结实验结果得到以下结论：
$$\frac{dI}{I}=-Kdl$$
     当$l=1/K$时，光强减小为原来的$1/e$。$K$是波长的函数，如果对光的吸收较大，且随波长有显著变化的吸收被称为选择性吸收。因此，在制作光学仪器时，光学材料的吸收的特性是必须考虑的问题，要保证其在所研究的波长范围内是透明的（即吸收较少）。上面讨论的是固体，对于溶液比尔在1852年通过实验得到，溶液的吸收系数$K$与其浓度$c$成正比（浓度很大时不成立）。
     媒介的吸收系数随光波长变化，其变化关系曲线称为媒介的吸收光谱。不同媒介的吸收光谱特点不同，气体的吸收光谱为清晰、狭窄的吸收线，其吸收光谱不仅与其性质有关，还和气体的压力、温度、密度有关，密度愈大，吸收越强。固体和液体的吸收带则相对较宽。测量材料的吸收光谱可以研究材料特性，如地球大气的"大气窗口"，太阳光的吸收光谱等。

2、光的散射

     当光通过浑浊的液体或穿过灰尘弥漫的空间时，可以在侧面看到光束的传播轨迹，即光束通过不均匀媒介时偏离了原来传播方向的、向四周分散的现象，称为光的散射。需要注意的是，光的吸收是将光能转化为了其他形式的能量，而光的散射是将光能散射到传播方向之外的其他方向上，实际情况下，由于难以区分它们对透射光强的影响，，因此通常统一考虑透明的影响，将透射光强表示为：
$$I=I_{0}exp[-(K+h)l]=I_{0}exp(-\alpha \ast l)$$
     其中吸收光强的表达式可由上文的微分形式得出，$h$为散射系数，$\alpha$为衰减系数。根据散射光的光波矢以及波长是否变化，将散射分为弹性散射：瑞利散射、米氏散射和分子散射（光波矢变化、波长不变）和非弹性散射：喇曼散射（光波矢、波长均变化）。
     生活中常见的含烟、雾和水滴的大气是浑浊媒介，由于其光学不均匀性十分显著，会对光产生强烈的散射现象，称为瑞利散射。瑞利散射具有以下特点：
1）散射光强度与入射光波长的四次方成反比（也是造成一天中天空颜色变化的主要原因）；
2）散射光强度与$(1+co{s}^2\theta )$成正比，$\theta$为散射角；
3）不论入射光是自然光还是偏振光，散射光一般为偏振光，其偏振度与观察方向有关（光的偏振相关内容之后单独留一个章节出来介绍）；