1. 问题描述

给定一个正整数 n，返回 连续正整数满足所有数字之和为 n 的组数 。

示例 1:

输入: n = 5
输出: 2
解释: 5 = 2 + 3，共有两组连续整数([5],[2,3])求和后为 5。

示例 2:

输入: n = 9
输出: 3
解释: 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4

示例 3:

输入: n = 15
输出: 4
解释: 15 = 8 + 7 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

提示:

1 <= n <= 10^9

2. 思路与算法1

首先进行必要的数学分析。

以下进行分类讨论。考虑n是否能表达为k个连续整数之和。

【case1：考虑k为奇数】

显然必须满足条件n能够被k整除，记 $m=\frac{n}{k}$ 。这个不是充要条件，还需要满足 $m > \frac{k-1}{2}$ 。这是因为如果n表达为k个连续整数之和且k为奇数，则m为这连续k个整数的中间数，所以m的左边至少必须要还有 $\frac{k-1}{2}$ 个正整数。

【case2：考虑k为偶数】

如果k个整数之和为n，记前半部分的和为x1，后半部分的和为x2，必然有 $x2=x1+(\frac{k}{2})^2$ ，即： $x1 = \frac{1}{2} (n-(\frac{k}{2})^2)$

进一步x1必须能够表达为k/2个连续整数之和。这个成为原问题的一个较小规模的问题，因此可以考虑以动态规划方法（递归+Memoization）来实现。

在最外层对k进行扫描即可，但是扫描的上限需要注意。概算如下：考虑k为奇数，则中间那个数为m=n/k，这k个连续整数应为{ $m-\frac{k-1}{2},...m,...,m+\frac{k-1}{2}$ }，由此可得：

$n = m\cdot k > \frac{k-1}{2}k \Rightarrow k < \sqrt{2n}$ 。

class Solution:
    def consecutiveNumbersSum(self, n: int) -> int:
        memo = dict()
        def dp(m:int ,k:int) -> bool:
            #print('dp: ',m,k)
            if k==1: 
                return True
            if (m,k) in memo:
                return memo[(m,k)] 
            if k%2 == 1:
                # k为奇数
                memo[(m,k)] = m%k==0 and ((m//k) > ((k-1)//2))
                return memo[(m,k)]
            else:
                # k为偶数       
                tmp = m-(k//2)**2
                if tmp % 2 == 1:
                    memo[(m,k)] = False
                    return False
                else:
                    memo[(m,k)] = dp( tmp // 2, k//2 )
                    return memo[(m,k)]

        cnt = 0        
        for k in range(1,int(sqrt(2*n))+1):
            cnt += dp(n,k)
        #print(memo)
        return cnt

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3. 思路与算法2

看了看官解，关于k为偶数的分析还能更进一步，如下所示。

令x为该k个连续整数中的最小正整数，则有 $n = \frac{k(2x+k-1)}{2}$ ，所以必然有k不能整除n但是能整除2n。也就是说“k不能整除n但是能整除2n”是“n可以表达为k个连续整数之和”的必要条件。

接下来证明“k不能整除n但是能整除2n”其实是“n可以表达为k个连续整数之和”的充分条件。

由于“k不能整除n但是能整除2n”，所以2n/k一定是奇数（否则就与n不能被k整除矛盾了），令 $\frac{2n}{k}=2m+1$ ，其中m是整数，则有 $\frac{n}{k} = m + 1/2$ 。此时，

$\begin{align} 2m+1 &= 2x+k-1 \\ 2x &= 2m +2 - k \\ x &= m + 1 - k/2 \end{align}$

由于k是偶数，因此x也肯定是整数，因此，n可以表达为从x开始的k个连续整数之和。

class Solution:
    def consecutiveNumbersSum(self, n: int) -> int:
        cnt = 0        
        for k in range(1,int(sqrt(2*n))+1):
            if k%2 == 1:
                # k为奇数
                #cnt += n%k==0 and ((n//k) > ((k-1)//2))
                cnt += n%k==0 # 后面那个约束条件不需要，因为上面扫描的上界决定了它一定会满足
            else:
                cnt += (n % k) != 0 and (2*n % k ) == 0
        return cnt

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Leetcode0829. 连续整数求和(difficult)

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2. 思路与算法1

3. 思路与算法2

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