829. 连续整数求和 : 数论运用题

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题目描述

这是 LeetCode 上的 829. 连续整数求和 ，难度为 困难。

Tag : 「数论」、「数学」

给定一个正整数 $n$，返回 连续正整数满足所有数字之和为 $n$ 的组数 。 

示例 1:

输入: n = 5

输出: 2

解释: 5 = 2 + 3，共有两组连续整数([5],[2,3])求和后为 5。
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示例 2:

输入: n = 9

输出: 3

解释: 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4
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示例 3:

输入: n = 15

输出: 4

解释: 15 = 8 + 7 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
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提示:

• $1 <= n <= 10^9$

数论

假设我们存在某个连续段之和为 $n$，假定该连续段首项为 $a$，长度为 $k$，根据「等差数列求和」可知：

$$\frac{(a + a + k - 1) \times k}{2} = n$$

简单变形可得：

$$(2a + k - 1) \times k = 2n \Leftrightarrow 2a = \frac{2n}{k} - k + 1$$

根据首项 $a$ 和 $k$ 均为正整数，可得：

$$2a = \frac{2n}{k} - k + 1 \geq 2$$

进一步可得：

$$\frac{2n}{k} \geq k + 1 \Leftrightarrow \frac{2n}{k} > k$$

综上，根据 $(2a + k - 1) \times k = 2n$ 和 $\frac{2n}{k} > k$ 可知， $k$ 必然是 $2n$ 的约数，并且为「较小」的约数。

因此我们可以在 $[1, \sqrt{2n})$ 范围内枚举 $k$，如果 $k$ 为 $2n$ 约数，并且结合 $(2a + k - 1) \times k = 2n$ 可验证 $a$ 合法，说明找到了一组合法的 $(a, k)$，对答案进行累加。

代码：

class Solution {
    public int consecutiveNumbersSum(int n) {
        int ans = 0; n *= 2;
        for (int k = 1; k * k < n; k++) {
            if (n % k != 0) continue;
            if ((n / k - (k - 1)) % 2 == 0) ans++;
        }
        return ans;
    }
}
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• 时间复杂度： $O(\sqrt{2n})$
• 空间复杂度： $O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.829 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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