堆的概念，堆的创建和时间复杂度证明，堆排序，TopK问题。

前言：

• 博主收集的资料，连载中。

• 转载请标明出处：New Young

• 本文介绍 堆—-一种特殊的完全二叉树.

堆

堆的概念

如果完全二叉树中,所有的父亲结点的值都比其左右孩子结点的值大或者小,这种完全二叉树称为堆,

• 其中将父亲结点大于孩子结点的称为大堆.
• 父亲结点小于孩子结点的称为小堆.

堆的特点

• 堆是一种特殊的完全二叉树
• 根结点的值是最值.
• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值 ,即大的值或者小的值总是沉到更下层.

堆的存储

堆是一种完全二叉树,为了避免不必要的空间浪费,一般用==顺序存储(数组）==的形式来存储数据.

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
     
     
	HPDataType* _a;
	int _size;
	int _capacity;
}Heap;

堆的功能实现

• 堆的很多功能（堆的创建，堆排序，TopK问题等）都需要向上或者向下调整算法，因此先介绍这2个，再介绍其它功能。

向上调整算法

//向上调整。
void Adjustup(HPDataType* a, int child)
{
     
     

	assert(a);
	int parent = (child - 1) / 2;//无论左右孩子，都可以.
	while (child>0)
	{
     
     
		if (a[child] < a[parent])
		{
     
     
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
     
     
			break;
		}
	}


}

向下调整算法

• 从根结点向下调整前，左右子树必须满足堆要求—-堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值。

//向下调整
void Adjustdown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
     
     
	assert(a);
	int child = 2 * parent + 1;
	while (child < n)//完全二叉树的特点，当无左子树时，代表达到领界或者越界。
	{
     
     
		if ( child+1<n && (a[child+1] < a[child]))
		{
     
     
			child ++;
		}

		if (a[child] < a[parent])
		{
     
     
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = 2 * parent + 1;

		}
		else
		{
     
     
			break;
		}

	}
}

向上与向下调整的比较

算法	特点	使用的范围	联系
向上调整	从堆的尾开始的调整，结点总是在从根结点到该结点的路径上移动	堆的插入（Push），堆的创建（Create），	二者没然的联系，主要看我们的使用角度
向下调整	从堆的头开始的调整，调整前，根结点的左右子树必须满足堆的要求。	堆的删除（Pop），堆的创建（Create），TopK问题，堆排序

堆的插入

堆的插入从尾部进行插入。

// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{
     
     
	assert(hp);
	HeapIsExpandCapacity(hp);
	hp->_a[hp->_size++] = x;
	//因为插入元素前，仍是一个堆，只需要要向上调整，就可以让插入的元素走到正确的位置
	Adjustup(hp->_a,hp->_size-1);
}

堆的删除

堆的删除方式很特殊：

先将根结点与尾结点进行交换，之后从根结点进行向下调整，直到尾结点前

/ 堆的删除，堆的删除删的是跟结点
void HeapPop(Heap* hp)
{
     
     
assert(hp);
	Swap(&hp->_a[0], &hp->_a[hp->_size - 1]);
	--hp->_size;
	Adjustdown(hp->_a, hp->_size, 0);
}

堆的扩容

//是否扩容
void HeapIsExpandCapacity(Heap* hp)
{
     
     
	if (hp->_size == hp->_capacity)
	{
     
     
		hp->_capacity = hp->_capacity == 0 ? 4 : 2 * (hp->_capacity);
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->_a, sizeof(HPDataType)*hp->_capacity);
		if (tmp == NULL)
		{
     
     
			printf("Expand Is Failure\n");
			exit(-1);
		}
		hp->_a = tmp;
	}
}

堆的创建

堆的创建有2种主要形式:

• 通过向上调整的算法，–直接在给定数组上进行建队，
• 通过向下调整的算法，通过给定数组的数据，动态规划，重新建立堆。

非原数组，动态建立

效果图

代码

void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n)
{
    
    
	  assert(hp);

	//方式一：不直接在数组上操作，重新构建一个堆
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
    
    
		HeapPush(hp, a[i]);
	}
	printf("向上调整结果\n");
	HeapPrint(hp->_a, hp->_size);
}

原数组

向上调整法：

• 只有一个结点的堆也堆，因此我们从下标1开始插入堆，然后向上调整，重复这个过程直到建堆完成。

代码

void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n)
{
    
    
	  assert(hp);
思路：只有一个结点也是堆，通过插入，向上调整，建堆。
	for (int i = 1; i < n; ++i)
	{
    
    
		Adjustup(a, i);
	}
	HeapPrint(a, n);
}向下调整法	

向下循环法

因为堆是一种递归结构，这表明如果我们再向下调整整个堆前，可以先调整它的左右子树，通过这种递归，最终我们需要从非叶结点的父亲结点回推

效果展示

代码

//思路：只有一个结点也是堆，通过插入，向下调整，建堆。
void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n)
{
    
    
      assert(hp);
for (int parent = (n - 1 - 1) / 2; parent >= 0; --parent)
	{
    
    
		Adjustdown(a, n, parent);
	}
}

递归法

代码

void RecDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
    
    
	assert(a);

	int child = 2 * parent + 1;
	if (child >= n )
	{
    
    
		Adjustdown(a, n, parent-1);
		return;
	}          
	else
	{
    
    
		RecDown(a, n, parent + 1);
		Adjustdown(a, n, parent);
	}

}

建堆的创建时间复杂度证明

堆排序

思路

我们再删除堆操作中，先将头尾交换，之后对头向下调整。再结合堆的根结点是最值.如果我们每次都将堆的根结点与尾交换，然后将尾前面就行向下调整,这样就可以完成排序。

如果想降序，因为最大值在最后，所以要求第一个根结点是最大值，这就要求我们建大堆，让根结点成为最大值。反之，升序，建小堆。

效果

代码

// 降序，建小堆,跟结点必然是最小结点，
//所以首尾交换后，跟的左右子树仍是关系未破坏的堆，
//所以可以通过向下调整的方式，再次选出最小的结点，
//重复改过程。

void HeapSort(HPDataType* a, int n)
{
    
    
	assert(a);
	//建堆
	// 
	// 
	// 
	//方式一：向上调整算法
	//for (int i = 1; i < n; ++i)
	//{
    
    
	//	Adjustup(a, i);
	//}
	//HeapPrint(a, n);

	//方式二，非递归向下调整算法。
	
	//方式二：在数组上操作
	//思路：只有一个结点也是堆，通过插入，向下调整，建堆。
	//for (int parent = (n - 1 - 1) / 2; parent >= 0; --parent)
	//{
    
    
	//	Adjustdown(a, n, parent);
	//}
	//printf("向下调整结果\n");
	//HeapPrint(a, n);
	方式三,递归向下调整算法建堆
	// 
	//递归法建堆
	printf("递归向下调整结果\n");
	RecDown(a, n, 0);
	for (int i = 0; i < n-1; ++i)
	{
    
    
		Swap(&a[0], &a[n -1- i ]);
		Adjustdown(a, n-1-i, 0);
	}
}

TopK问题

思路：

问题：如果有10亿个数，找出其中最大的前10。

首先10亿个数，只能将他们先存到文件中，之后取和适数量放到内存中。

这里为了方便，假设文件存放了N(我实际假设环境是100个数)个数，一次取t个数存入内存，需要K次。

如果我们用排序的思想—-这里用选择法，时间复杂度为：0（K*N^2）

发现很大，效率不高。

我们观察堆，发现，堆的根结点是最值，根以下的结`点`都大于或者小于根结点，如果我们将除了==建堆以外==的数据与==根结点==比较，如果大于根结点，就替换根结点，同时进行向下调整，这样的话大数就沉到下面了，而最小的，次小等等都会因为根结点而被替换调。

如果要找最大的前K个，那么必须建小堆，如果建大堆，如果根结点恰好是最大的一个，这就会Creash。但是建小堆就不用担心，根结点是最小的，不会Creash。

文件存储数据代码

效果

int main ()
{
    
    
	srand(time(NULL));
	FILE* pf = fopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\test.txt","w");
	assert(pf);

	for (int i = 0; i < 100; ++i)
	{
    
    
		
		fprintf(pf, "%d ", rand()%100);
	}
		

	return 0;
}

TopK代码

效果

代码

//找最大的 k个，则建立小堆，因为大堆可能会导致最大的丢失。

//先去文件中的前N个放到数组中，建成小堆，之后继续将数据重新放到数组中，然后依次比较堆根结点。直到EOF。
void TopK( int n, int k)
{
    
    

	
	FILE* pf = fopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\test.txt", "r");
	assert(pf);
	Heap hp;
	HeapInit(&hp);
	int* a = (int*)calloc(k ,sizeof(int));
	assert(a);
	//建小堆
		for (int i = 0; i < k; ++i)
		{
    
    
			if (feof(pf))
			{
    
    
				break;
			}
			else
			{
    
    
				fscanf(pf, "%d ", &a[i]);
			}
		}
		HeapPrint(a, k);
		//这里不能在原数组上建堆。动态建堆
		HeapCreate(&hp, a, k);
		printf("建的小堆：");
		HeapPrint(hp._a, hp._size);
		while (!feof(pf))
		{
    
    
			int i = 0;
			for ( i = 0; i < k; ++i)
			{
    
    
				if (feof(pf))
				{
    
    
					
					break;
				}
				else
				{
    
    
					fscanf(pf, "%d ", &a[i]);
				}

			}
			
			for (int j = 0; j < i; ++j)
			{
    
    
				if (a[j] > HeapTop(&hp))
				{
    
    
					hp._a[0] = a[j];
					Adjustdown(hp._a, k, 0);
				}
			}
		
		}
	




		HeapPrint(hp._a, hp._size);

		HeapDestory(&hp);
		free(a);
		a = NULL;
}