【BZOJ3930】选数（CQOI2015）-数论+容斥

测试地址：选数
做法：本题需要用到数论+容斥。
首先把区间中所有能被$k$整除的数拿出来，显然只有在这些数里面取才可能得到最大公因数$k$，把这些数同除$k$，我们就得到了一个连续区间$[l,r]$，问题转化成在区间$[l,r]$中取$n$个数，使得它们的最大公因数是$1$，求方案数。
这里我们有一个结论：在长度为$n$的连续区间内，两个不同的数的最大公因数$<n$。这个显然可以用鸽巢原理证明。那么我们知道，除了所有$n$个数都是同一个数的方案，其它每一种方案的最大公因数都不超过$r-l$，根据题目条件，这个数不超过$10^5$，问题的范围减小到了可以解决的程度。
那么我们令$f(i)$为最大公因数是$i$的方案数，容易想到把所有$i$的倍数取出来，假设有$x$个，那么方案数为$x^n-x$，之所以要减去$x$，是因为我们这里暂时不算所有$n$个数都是同一个数的方案。然而我们注意到，这个方案数并不是最大公因数是$i$的方案数，而是最大公因数是$i$倍数的方案数，于是我们可以容斥一下，从大到小枚举$i$，我们知道对于$j>i$，$f(j)$已经是正确的了，那么我们就枚举$i$的所有倍数$j$，从$f(i)$中减去$f(j)$，最后剩下的也就是正确的方案数了。那么最后$f(1)$就是答案。
等等，我们还没有算所有$n$个数都是同一个数的情况呢！实际上这种情况就非常简单了，因为这种情况下最大公因数一定就是它本身，于是我们只要看看区间中有没有$1$，如果有就对答案加$1$即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1000000007;
ll n,k,l,r,f[100010];

ll power(ll a,ll b)
{
    ll s=1,ss=a;
    while(b)
    {
        if (b&1) s=s*ss%mod;
        ss=ss*ss%mod;b>>=1;
    }
    return s;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&l,&r);
    if (l%k==0) l=l/k;
    else l=l/k+1;
    r=r/k;

    for(ll i=1;i<=r-l;i++)
        f[i]=((power(r/i-(l-1)/i,n)-r/i+(l-1)/i)%mod+mod)%mod;
    for(ll i=r-l;i>=1;i--)
        for(ll j=2;i*j<=r-l;j++)
            f[i]=(f[i]-f[i*j]+mod)%mod;
    if (l==1) f[1]=(f[1]+1)%mod;
    printf("%lld",f[1]);

    return 0;
}