CQOI2015 选数

粘题目描述：

我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。

小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。

然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。

你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

题解：

容斥+递推。如果我们在区间[l,r]种任取n个不全相同的数时，他们的gcd一定<=r-l+1（贝祖）。

然后就很好搞了，l=(l+k-1)/k，h=h/k。

然后f[ i ]表示合法区间内选n个数不全相同且gcd==i的方案。

容斥之前是x^n-x，然后逆向处理即可。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define N 100050
#define ll long long
int n,k,l,h;
ll f[N];
ll fastpow(ll x,int y)
{
    ll ret = 1ll;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=ret*x%MOD;
        x=x*x%MOD;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&l,&h);
    l=(l+k-1)/k,h=h/k;
    for(int i=1;i<=(h-l+1);i++)
    {
        int x = (h/i)-((l+i-1)/i)+1;
        f[i]=fastpow(x,n)-x;
    }
    for(int i=(h-l+1);i>=1;i--)
    {
        for(int j=2;i*j<=(h-l+1);j++)
        {
            f[i]=(f[i]-f[i*j]+MOD)%MOD;
        }
    }
    printf("%lld\n",f[1]+(l==1));
    return 0;
}