P3172 [CQOI2015]选数
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前言
- 很好的题~可以反演后杜教筛，也可以推式子然后dp！！
简明题意
- 给定\(n,k,L,R\)，需要你求出，求从区间\([L,R]\)中选出\(n\)个数且他们的\(gcd=k\)的方案数。（可以重复选数）
思路
- 我们假设一组样例，\(n=2,k=3,L=2,R=10\)。于是，我们需要从\([2,10]\)中选出两个数，使得他们的\(gcd=2\)。一个很明显的东西，就是无论我们怎么选，选的这些数一定是\(k\)的倍数。
- 我们发现，我们假设的样例中，k=3的倍数有3,6,9，假设个数为\(x\)，这里\(x=3\)。于是我们列出所有的选择方案，一共有\(x^n=3^2=9\)种方案，分别是：(3,3),(3,6),(3,9),(6,3),(6,6),(6,9),(9,3),(9,6),(9,9)。显然，有一些的\(gcd\)显然是3，有一些的是6，有一些甚至是9。
现在设\(f(i)\)是对于给定\(n,k,L,R\)，从中选出\(n\)个数且\(gcd=i\)的方案数。还是根据上面的样例，\(f(2)=3^2-f(6)-f(9)\)（琢磨一下这个式子怎么来的）。所以令\(x=[L,R]\)中\(i\)的倍数的个数，根据上面的样例，我们很容易知道
\[f(i)=x^n-f(2*i)-f(3*i)-...-f(m*i)(m*i<=R)\]这里讲一下x的求法。\(x=\frac Ri-\frac{L-1}i\).这个式子怎么来的可以自己举例就知道了
- 这是一个递归式，显然，当\(k=1,R=1e9\)时，递推一定T。得优化。优化的突破口是这句话：\(H-L<=10^5\)。然后我们又有一个重要的性质：从\([l,r]\)中选若干个不相同的数，他们的\(gcd\)不超过\(R-L\)。知道了这个性质，我们的\(f(x)\)就可以不用从\(f(2*i)\)一直考虑到\(f(m*i)(m*i<=R)\)，因为\(m*i\)根本不可能是\(gcd\)，从而只用从\(f(2*i)\)考虑到\(f(m*i)(m*i<= R-L)\)，但是需要稍微改变一下。
- 回忆\(f(i)\)的定义，它包含了选择相同数的情况。那么我们只计算选择不同数的情况，这样就能用上面说的\(gcd\)的性质，只需要最后减去选择相同数的方案数。但是很麻烦，设相同的方案数是p，当n=1,p显然是0，当n>=2，我们需要考虑[L,R]区间中k的倍数，然后组合数学计算。很麻烦。这里有一种简化方法:
就是直接把L,R除以k，然后就变成在新的区间里找gcd==1的方案数了。这样之后，重复元素的方案数就很好算了，因为k=1，与1互质的数只有1，所以重复元素只能是1，只要新的L=1且要选2个数以上，那么方案数就+1，就这么简单。
注意事项
- 减法操作直接取模会出问题，应该先加上模数再取模
总结
- 从\([l,r]\)中选若干个不相同的数，他们的\(gcd\)不超过\(R-L\)
AC代码
#include <cstdio>
#include <unordered_map>
using namespace std;
const int mod = 1000000007;
int ksm(int a, int b) {
int base = a, ans = 1;
while (b) {
if (b & 1)
ans = 1ll * ans * base % mod;
base = 1ll * base * base % mod;
b >>= 1;
}
return ans;
}
int n, k, l, r;
unordered_map<int, int> rec;
int f(int k) {
if (rec[k] != 0)
return rec[k];
int x = r / k - (l - 1) / k;
int ans = ksm(x, n) - x;
for (int i = 2; i * k <= r - l; i++) ans = (ans - f(i * k) + mod) % mod;
return rec[k] = ans;
}
void solve() {
scanf("%d%d%d%d", &n, &k, &l, &r);
l = (l % k == 0 ? l / k : l / k + 1);
r /= k;
k = 1;
printf("%d", f(k) + (l == 1 && n >= 2));
}
int main() {
solve();
return 0;
}