“计算中缀表达式”可以称得上是一个特别经典的关于栈的算法题，几乎在所有数据结构教材中都会涉及，而且很多公司面试或者笔试的时候都会把这道题作为一个考察点。可以说，这是一道必须要掌握的算法题。中缀表达式、后缀表达式等概念在这里就不赘述了，让我们直奔主题。
题目：输入一个中缀表达式，计算其结果。
输入的前提假设：
（1）只考虑+、-、*、/这四种运算符，中缀表达式中只有一种括号：（）；
（2）输入的中缀表达式中只有整数，没有小数；
（3）假定输入是合法的。
很多文章或课本喜欢一步到位，直接讨论如何从中缀表达式计算结果。但对于初学者来说，跨度未免大了点。这里循序渐进，从易到难，先讨论如何将中缀表达式转化为后缀表达式，再讨论如何计算后缀表达式。最后在前面两步的基础上，讨论如何一步到位，直接计算中缀表达式的结果：
一、如何将中缀表达式转化为后缀表达式
在日常应用中，算术表达式中运算符总是出现在两个操作数之间，例如5*（7-2*3）+8/2，这种形式称为中缀表达式。计算一个中缀表达式需要知道运算符的优先级和结合性。乘除是高优先级，加减是低优先级，优先级相同时他们都是左结合的，也就是从左计算到右。有括号就要计算括号内的表达式。
中缀表达式利于人的理解，但不便于计算机的处理。因此需要将中缀表达式转换成后缀表达式，以方便计算机处理。所谓后缀表达式就是将运算符放在运算数之后。后缀表达式也称为逆波兰表达式。
比如：
中缀表达式为：1+(2-3)*4+4/2
对应后缀表达式为：1 2 3 - 4* + 4 2 / +
如何将一个中缀表达式转化为后缀表达式？我们需要借助栈的力量，用它来存放运算符。算法流程如下：
首先将各种运算符（包括括号）的优先级排列如下（数字越大，优先级越高）：
1：（
2：+ -
3：* /
4：）
对输入的中缀表达式从左到右遍历：
1）如果遇到数字，直接添加到后缀表达式末尾；
2）如果遇到运算符+、-、*、/：
先判断栈是否为空。若是，则直接将此运算符压入栈。若不是，则查看当前栈顶元素。若栈顶元素优先级大于或等于此操作符级别，则弹出栈顶元素，将栈顶元素添加到后缀表达式中，并继续进行上述判断。如果不满足上述判断或者栈为空，将这个运算符入栈。要注意的是，经过上述步骤，这个运算符最终一定会入栈。
3）如果遇到括号：
如果是左括号，直接入栈。如果是右括号，弹出栈中第一个左括号前所有的操作符，并将左括号弹出。（右括号别入栈）。
4）字符串遍历结束后，如果栈不为空，则弹出栈中所有元素，将它们添加到后缀表达式的末尾，直到栈为空。
二、计算后缀表达式
后缀表达式的计算就相当简单了。准备一个数字栈。从左到右扫描后缀表达式，如果是数字，放入数字栈。如果是符号，从数字栈中弹出两个数字，第一个取出的数字为右运算数，第二个为左运算数，进行运算。然后将结果放进数字栈中。如此反复，直到读完整个表达式后，留在数字栈中的那个数字就是最终结果。
C++代码如下，要注意，下面的代码默认中缀表达式中所有数字都是整数，并且都在0到9之间。而且计算结果都是整数（比如5/2=2）。
#include<iostream>
#include<string>
#include<stack>
using namespace std;
int getPriority(char ch)
{
//获取优先级
if (ch == '(') return 1;
else if (ch == '+' || ch == '-') return 2;
else if (ch == '*' || ch == '/') return 3;
else return 4;
}
string getPostfixExpression(string str)
{
//将中缀表达式转化为后缀表达式
//默认输入是合法的
stack<char> mystack;
int size = str.size();
int i = 0;
char tmp;
string res = "";
while (i < size) {
if (str[i] >= '0' && str[i] <= '9'){
res.push_back(str[i]);
}
elseif (str[i] == '+' || str[i] == '-' || str[i] == '*' || str[i] == '/') {
if (mystack.empty()) {
mystack.push(str[i]);
}
else {
while (!mystack.empty()) {
tmp = mystack.top();
if (getPriority(tmp) >= getPriority(str[i])) {
//弹出栈顶元素
res.push_back(tmp);
mystack.pop();
}
else break;
}
mystack.push(str[i]);
}
}
else {
if(str[i]=='(') mystack.push(str[i]);
else {
while (mystack.top() != '(') {
tmp = mystack.top();
res.push_back(tmp);
mystack.pop();
}
mystack.pop();
}
}
i++;
}
//遍历完后，若栈非空，弹出所有元素
while (!mystack.empty()) {
tmp = mystack.top();
res.push_back(tmp);
mystack.pop();
}
return res;
}
int calculator(string str)
{
//计算后缀表达式的值，默认中缀表达式所有数字都是一位的，在0-9之间
stack<int> mystack;
int size = str.size();
int num1, num2, num3;
for (int i = 0; i < size; i++) {
if (str[i] >= '0' && str[i] <= '9') {
mystack.push(str[i] - '0');
}
else {
num2 = mystack.top();
mystack.pop();
num1 = mystack.top();
mystack.pop();
if (str[i] == '+') {
num3 = num1 + num2;
}
else if (str[i] == '-') {
num3 = num1 - num2;
}
else if (str[i] == '*') {
num3 = num1 * num2;
}
else if (str[i] == '/') {
num3 = num1 / num2;
}
mystack.push(num3);
}
}
return mystack.top();
}
int main()
{
string str="1+(2-3)*4+4/2";
cout <<"中缀表达式为:"<< endl << str << endl;
string res = getPostfixExpression(str);
cout <<"后缀表达式为:"<< endl << res << endl;
int num_res = calculator(res);
cout <<"计算结果:"<< endl << num_res << endl;
system("pause");
return 0;
}
三、直接计算中缀表达式
其实将前面的两步结合起来，就可以得到直接计算的方法。准备一个数字栈和一个符号栈。
从左到右遍历中缀表达式。如果遇到数字，入数字栈。
如果遇到符号（四个运算符以及括号），跟前面的“中缀表达式转后缀表达式”过程一样，对符号栈进行处理。处理过程中，对每一个出栈的运算符：+ - * /，根据“计算后缀表达式”的方法，计算结果（跟数字栈配合）。
如果遍历完中缀表达式后符号栈还非空，就继续出符号栈的运算符，计算，直到符号栈为空。最后数字栈剩下的数字就是结果。
下面给出用C++实现“计算中缀表达式”的代码，里面考虑了“数字不止1位”，并且用浮点型来表示最终运算结果。要求中缀表达式中只能包含整数和运算符（不能包含小数），并且是合法的。
#include<iostream>
#include<string>
#include<stack>
using namespace std;
int getPriority(char ch)
{
//获取优先级
if (ch == '(') return 1;
else if (ch == '+' || ch == '-') return 2;
else if (ch == '*' || ch == '/') return 3;
else return 4;
}
void calculate(stack<double> &mystack, char operation)
{
double num1, num2, num3;
num2 = mystack.top();
mystack.pop();
num1 = mystack.top();
mystack.pop();
if (operation == '+') {
num3 = num1 + num2;
}
else if (operation == '-') {
num3 = num1 - num2;
}
else if (operation == '*') {
num3 = num1 * num2;
}
else if (operation == '/') {
num3 = num1 / num2;
}
mystack.push(num3);
}
double calculator(string str)
{
//计算中缀表达式,默认输入是合法的
stack<double> mystack_number;
stack<char> mystack_operation;
int i = 0, j;
int size = str.size();
char tmp_operation;
string tmp_num;
while (i < size) {
if (str[i] >= '0' && str[i] <= '9') {
j = i;
while (j < size && str[j] >= '0' && str[j] <= '9') { j++; }
tmp_num = str.substr(i, j - i);
mystack_number.push(atoi(tmp_num.c_str()));
i = j;
}
else if (str[i] == '+' || str[i] == '-' || str[i] == '*' || str[i] == '/') {
if (mystack_operation.empty()) {
mystack_operation.push(str[i]);
}
else {
while (!mystack_operation.empty()) {
tmp_operation = mystack_operation.top();
if (getPriority(tmp_operation) >= getPriority(str[i])) {
//计算
calculate(mystack_number, tmp_operation);
mystack_operation.pop();
}
else break;
}
mystack_operation.push(str[i]);
}
i++;
}
else {
if (str[i] == '(') mystack_operation.push(str[i]);
else {
while (mystack_operation.top() != '(') {
tmp_operation = mystack_operation.top();
//计算
calculate(mystack_number, tmp_operation);
mystack_operation.pop();
}
mystack_operation.pop();
}
i++;
}
}
//遍历完后，若栈非空，弹出所有元素
while (!mystack_operation.empty()) {
tmp_operation = mystack_operation.top();
//计算
calculate(mystack_number, tmp_operation);
mystack_operation.pop();
}
return mystack_number.top();
}
int main()
{
string str = "1+(2-3)*4+10/2+2*2+2+2/5";
cout << "中缀表达式为:" << endl << str << endl;
double num_res = calculator(str);
cout << "计算结果:" << endl << num_res << endl;
system("pause");
return 0;
}
相信通过这篇文章，大家对这个问题会有所了解。
给出一道思考题：如果加入乘方'^'，应该如何处理？要注意，乘方运算是右结合的。
其实很简单。只有两处修改：
1）将乘方添加到优先级中：
1：（
2：+ -
3：* /
4：^
5：）
2）在读中缀表达式的时候，如果读到乘方^，就将它放进符号栈中。因为乘方的优先级是最高的，而且是右结合的，所以无论它前面出现的是什么运算，这些运算都不能执行。而且它本身能否执行也是不知道的，因此只能进栈。
大家自己试试吧~要记住，学习编程，动手去写代码永远是第一位的。
【参考资料】
[1]https://blog.csdn.net/sinat_36118270/article/details/70257547
[2]翁惠玉, 俞勇. 数据结构:思想与实现[M]. 高等教育出版社, 2009.