1. 常微分方程

微分方程是指一个方程中有导数，表示未知函数的导数以及自变量之间关系的方程。未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程。未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，成为微分方程的阶。例如：

$y'= x$ 或 $( y - 2xy) dx + x^{2}dy = 0$

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scipy.integrate中微分方程的求解方法
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odeint       常微分方程的通用函数
ode          求解常微分和偏微分
complex_ode  在复数域求解微分方程
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本文之介绍 scipy.integrate.odeint() 求解常微分方程的方法，该函数的参数如下：

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参数
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func    常微分方程函数
y0      微分方程求解出的原函数的初值，导数:2x  原函数: x^(2) + y0 
t       微分方程的自变量数值序列
args    元组。func被积函数的自变量以外，需要的其他变量的参数，
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返回值：对应自变量序列的原函数的值
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案例一：简单常微分方程求解

求解常微分方程 $\frac{dy}{dx}=x$ ，由于计算机不会计算出具体的公式，只会根据传进去的数据，计算出求解后的计算结果数据，因此自变量 x 应该传入一组数值序列 np.linspace(0, 10, 100) 。设置求解后的原函数初值y0=0

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint

# 定义导数 y'=x, 求出原函数
def diff(y, x):
    res = np.array(x)
    # 返回导数
    return res  

# 给出x的范围, 从0到10产生100个数
x = np.linspace(0, 10, 100) 

# 求原函数, 初值为0, 自变量为x
y = odeint(func=diff, y0=0, t=x)  # y.shape=[100,1]

# 绘制导函数曲线
plt.plot(x, np.array(x), label='derivative')
# 绘制求解后的曲线
plt.plot(x, y[:,0], label='origin')  # y[:,0].shape=(100,)
plt.grid()  # 网格
plt.legend()  # 图例
plt.show()

绘制原导函数的曲线，和求解出的原函数的曲线

案例二：稍复杂的常微分方程求解

计算常微分方程 $\frac{dy}{dx} = k\times x^{n}+b$ ，其中 $k=3, n=2, b=4$ ，计算结果的初值 y0=100，

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint

# 定义导数 y'=x, 求出原函数
def diff(y, x, k, n, b):
    res = k * (np.array(x) ** n) + b 
    # 返回导数
    return res  

# 给出x的范围, 从0到10产生100个数
x = np.linspace(0, 10, 100) 

# 求原函数,  初值为100,  自变量为x,  k,n,b=(3.0, 2, 4.0)
y = odeint(func=diff, y0=100.0, t=x, args=(3.0, 2, 4.0))  # y.shape=[100,1]

# 绘制导函数曲线
plt.plot(x, 3.0*(np.array(x)**2)+4.0, label='derivative')
# 绘制计算结果函数曲线
plt.plot(x, y[:,0], label='origin')  # y[:,0].shape=(100,)
plt.grid()  # 网格
plt.legend()  # 图例
plt.show()

绘制原导函数的曲线，和求解出的结果函数的曲线

2. 洛伦兹吸引子

洛伦兹方程是大气流体动力学模型的一个简化的常微分方程组：

$\LARGE \left\{\begin{matrix} \frac{dx}{dt}=-\sigma x+\sigma y\\ \frac{dy}{dt}=rx-y-xz\\ \frac{dz}{dt}=-bz+xy \end{matrix}\right.$

该模型将大气流体运动的强度 x 与水平和垂直方向的温度变化 y 和 z 联系了起来。参数 $\large \sigma$ 称为普兰特系数，r 是规范化的瑞利数，b 和几何形状相关。洛伦兹方程是非线性方程组，无法求出解析解，必须使用数值方法求解上述微分方程组。

首先需要定义出洛伦兹函数 lorenz，位置参数 w 包含三维坐标 (x, y, z)，参数 p 代表普兰特系数。构建和上面公式相同的导函数。自变量为 t，计算出三个坐标对于自变量 t 的导函数。

求解后的位置坐标点初始值 (x0, y0, z0)=(0.0, 1.0, 0.0)，args对应三个洛伦兹参数 (p, r, b)=(10.0, 28.0, 3.0)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint

# 定义洛伦兹函数, 位置矢量w, 三个参数p、r、b
def lorenz(w, t, p, r, b):
    x, y, z = w.tolist() # tolist()是把数组中的值作为列表元素, 生成列表与原数组结构相同
    # 计算导数 dx/dt, dy/dt, dz/dt
    return p*(y-x), x*(r-z)-y, x*y-b*z

# 自变量的取值序列, 0到30，步长0.02
t = np.arange(0, 30, 0.02)

# x, y, z的初值
initial_val = (0.0, 1.0, 0.0)

# 求解常微分方程, args是p、r、b的值, track.shape=(1500, 3)
track = odeint(func=lorenz, y0=initial_val, t=t, args=(10.0, 28.0, 3.0))

# 绘图
fig = plt.figure()
ax=fig.gca(projection='3d')  # 三维绘图
# 取出xyz坐标点值
x, y, z = track[:,0], track[:,1], track[:,2]
ax.plot(x,y,z)
plt.show()

绘制洛伦兹方程求解出的x,y,z坐标

【Scipy高级计算】(2) 常微分方程、洛伦兹吸引子，附python完整代码

1. 常微分方程

案例一：简单常微分方程求解

案例二：稍复杂的常微分方程求解

2. 洛伦兹吸引子

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