【Scipy高级计算】(3) 一维插值方法，附python完整代码

插值主要用于物理学数学中，逼近某一确定值的方法

（1）插值是通过已知的离散数据求未知数据的方法。

（2）与拟合不同，插值要求曲线通过所有的已知数据。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可以通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。

（3）若函数 f(x)，在自变量x(离散值)所对应的函数已知，求解出一个适当的特定函数 p(x) 使得 p(x) 在x处所取的函数值等于 f(x) 在x处的已知值。从而用 p(x) 来估计 f(x) 在这些x值之间的数所对应的函数值。

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scipy.interpolate.interp1d()  一维插值方法

参数
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x      数组或列表类型，已知点的x坐标
y      数组或列表类型，已知点的y坐标
kind   差值类型。zero, nearest  阶梯插值, 0阶B样条曲线
                slinear, linear  默认线性插值, 用一条直线连接各个取样点, 1阶B样条曲线
                quadratic, cubic  二阶,三阶 曲线采样，更高阶的可以直接用整数值定
axis   指定沿y的某个轴进行插值，默认沿y的最后一个轴插值
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案例一：线性插值

x 坐标为[0,1,2,...,9]，坐标y的计算公式为： $\large e^{-\frac{x}{3}}$ ，插值方法是要通过已知的10个点，找到能够完美经过这10个点的函数表达式 f，得到表达式后输入新的x坐标点，就能得到对应的新的y坐标点

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import interp1d

# 创建已知点的(x,y)坐标
x = np.arange(0, 10)
y = np.exp(-x/3.0)
# 绘制离散点
# plt.plot(x, y, 'o')

# 插值方法就是找到一个函数完全经过这些点，从而预测其他相关的信息
# 创建插值函数, 传入已知点的坐标, 使用线性插值
f = interp1d(x, y, kind='linear', axis=-1)  # 创建的结果是一个函数表达式

# 传入新的点的x坐标，预测出y坐标
x_new = np.arange(0, 9, 0.2)
# 生成预测点
y_new = f(x_new)  

# 对比旧点和新点的坐标
plt.plot(x, y, 'o', x_new, y_new, '*')
plt.show()

可以看到，插值后的新的坐标点能够经过旧的坐标点。

案例二：案例应用

问：

在一次实验中，在1到12的11个小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次是：5、8、9、15、25、29、31、30、22、25、27、24。尝试估计每隔1/10小时的温度值。
答：

需要根据12小时的测量结果，插值计算出每0.1小时的测量结果。和上面一样，找到一个函数能够完美经过这12个坐标点，使用这个函数预测新的坐标。

下面使用两种差值类型，线性插值和二阶曲线插值，线性插值是在每两个坐标点之间用直线段相连，而二阶曲线插值是在每两个坐标点之间使用二次曲线相连。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import interp1d

# x为时间序列, y为每个小时的测量温度
x = np.arange(1, 13)
y = [5, 8, 9, 15, 25, 29, 31, 30, 22, 25, 27, 24]

# 插值求得包含所有坐标点的函数表达式, 使用二阶插值
f1 = interp1d(x, y, kind='quadratic', axis=-1)
# 使用线性插值
f2 = interp1d(x, y, kind='linear', axis=-1)

# 生成新的时间序列点
x_new = np.arange(1, 12, 0.1)

# 二阶插值计算每个时间点对应的新的测量结果
y_new1 = f1(x_new)
# 二阶插值计算测量结果
y_new2 = f2(x_new)

# 对比两种插值方法的坐标
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.subplot(121)
plt.title('quadratic')
plt.plot(x, y, 'o', x_new, y_new1, '*')

plt.subplot(122)
plt.title('linear')
plt.plot(x, y, 'o', x_new, y_new2, '*')
plt.show()

可以看出二阶插值方法比线性插值更加平滑，符合设计要求。