【XSY3478】取石子（经典问题）

题面

取石子

题解

只考虑一方，每一个操作都可以写成 $x\leftarrow \max (0,\min (S,x+B_i))$ 的形式。

法一：

定义 “碰壁” 表示当前 $x\leftarrow \max (0,\min (S,x+B_i))$ 操作中对 $0$ 取 $\max$ 和对 $S$ 取 $\min$ 之一起了作用（即 $x+B_i$ 超出了 $[0,S]$ 范围）。

在所有操作前插入一个 $-\infty$ 操作和一个 $X$ 操作，这样做的好处是：游戏一定是从 “先碰了一次下壁” 开始的。

考虑找出最后一次碰壁的时间 $ed$ 以及它碰的是哪个壁，找出来之后就好做了。

我们将整个游戏的情形用下图的示意图表示：

上下两条黑线分别表示上下壁，红线是 $x$ 随操作的变化形成的折线。也就是说，我们这么看游戏中的碰壁：先碰若干次下壁、再碰若干次上壁、再碰若干次下壁……。

我们把连续碰某一侧壁的部分称为 “一段”，一段中最后一次碰壁的位置称为这段的 “结尾”。我们发现，相邻两段的结尾之间一定存在两个点 $i,j$ 使得 $\left|\sum _{k=i}^j{B}_k\right|>S$。同时若存在 $i,j$ 满足 $\left|\sum _{k=i}^j{B}_k\right|>S$ 那么 $i$ 或之后一定会有碰壁。

这有助于我们定位最后一段的位置：找到 $i$ 最大的 $i,j$ 满足 $\left|\sum _{k=i}^j{B}_k\right|>S$，那么最后一段一定在 $i$ 之后而且 $i$ 之后不存在其他段。

定位了最后一段之后怎么定位最后一次碰壁呢？由于 $i$ 之后只会在同一侧碰壁，所以我们找到 $i$ 之后 $\left|\sum _{k=i}^{ed}{B}_k\right|$ 最大的位置即为 $ed$。而且我们能通过 $\left|\sum _{k=i}^{ed}{B}_k\right|$ 的正负来判断碰的是哪一侧壁。

法二：

考虑分治，假设我们当前要解决 $\mathrm{solve}(x,l,r)$：进来的数是 $x$，经过操作 $B_l,\cdots ,B_r$ 后得到的是什么。

分两类讨论：

• 若 $[mid+1,r]$ 中存在 $i,j$ 满足 $\left|\sum _{k=i}^j{B}_k\right|>S$，那么在 $[mid+1,r]$ 中一定会碰壁，直接那么 $[l,mid]$ 操作就相当于没用了，直接进入 $\mathrm{solve}(\ast ,mid+1,r)$ 解决即可，其中 $\ast$ 填什么并不重要。
• 若 $[mid+1,r]$ 中不存在 $i,j$ 满足 $\left|\sum _{k=i}^j{B}_k\right|>S$，此时并不代表着在 $[mid+1,r]$ 中一定不会碰壁，但可以说明在 $[mid+1,r]$ 中至多只会碰同一侧的壁，这跟上一题最后一部分是一样的。那么我们可以先求出 $x$ 经过 $[l,mid]$ 会得到的数 $x^{\prime }=\mathrm{solve}(x,l,mid)$，然后找到 $[mid+1,r]$ 中满足 $\left|\sum _{k=mid+1}^j{B}_k\right|$ 最大的位置 $j$，那么 $j$ 就是 $[mid+1,r]$ 中最后一次碰壁的位置（当然需要先根据 $x^{\prime }+\sum _{k=mid+1}^j{B}_k$ 判断有没有碰壁）。

法二代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define N 500010
#define ll long long

using namespace std;

inline int read()
{
    
    
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
    
    
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
    
    
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

int n,q,X,Y,S;
ll sum[N<<2],maxn[N<<2],minn[N<<2];

void up(int k)
{
    
    
	sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];
	maxn[k]=max(maxn[k<<1],sum[k<<1]+maxn[k<<1|1]);
	minn[k]=min(minn[k<<1],sum[k<<1]+minn[k<<1|1]);
}

void build(int k,int l,int r)
{
    
    
	if(l==r)
	{
    
    
		int a=read();
		if(!(l&1)) a=-a;
		sum[k]=a,maxn[k]=max(0,a),minn[k]=min(0,a);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(k<<1,l,mid);
	build(k<<1|1,mid+1,r);
	up(k);
}

void update(int k,int l,int r,int x,int a)
{
    
    
	if(l==r)
	{
    
    
		if(!(l&1)) a=-a;
		sum[k]=a,maxn[k]=max(0,a),minn[k]=min(0,a);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid) update(k<<1,l,mid,x,a);
	else update(k<<1|1,mid+1,r,x,a);
	up(k);
}

int solve(int x,int k,int l,int r)
{
    
    
	if(l==r) return (int)max(0ll,min((ll)S,x+sum[k]));
	int mid=(l+r)>>1,rc=k<<1|1;
	if(maxn[rc]-minn[rc]>S) return solve(0,k<<1|1,mid+1,r);
	x=solve(x,k<<1,l,mid);
	if(x+maxn[rc]>S) return S+sum[rc]-maxn[rc];
	if(x+minn[rc]<0) return sum[rc]-minn[rc];
	return x+sum[rc];
}

int main()
{
    
    
//	freopen("stone3.in","r",stdin);
//	freopen("stone3_my.out","w",stdout);
	n=read(),q=read(),X=read(),Y=read(),S=X+Y;
	build(1,1,n);
	while(q--)
	{
    
    
		int opt=read();
		if(opt==1) X=read(),S=X+Y;
		if(opt==2) Y=read(),S=X+Y;
		if(opt==3)
		{
    
    
			int p=read(),v=read();
			update(1,1,n,p,v);
		}
		printf("%d\n",solve(X,1,1,n));
	}
	return 0;
}