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1. 矢量形式的CRLB定理
如果要从采集到的一组观测量：
而其概率密度函数存在r个参数：
那么此时用来估计
的似然函数可以表示为：
如果似然函数对每个参数都满足正则条件，即：
写成矩阵形式，即：
那么对每个无偏估计
的方差，都存在一个下限，可以表示为：
此下限被称为该无偏估计的CRLB下限，其中：
为r*r维的Fisher信息矩阵，矩阵中每个元素定义为：
2. 矢量形式的CRLB定理详细证明过程
由于
都是无偏估计，因此满足：
也就可以表示为：
用积分形式表示
由于存在r个待估计参数，因此有r个无偏估计的积分形式。写成矩阵形式，可以表示为：
其中：
又由于存在r个待估计参数，因此
对每个待估计参数进行偏导，即：
除了当概率密度函数的非零域与未知参数有关之外，上述求导和积分可以互换[1]。或者可以描述为上述数学期望的上下限与估计量
有关，那么求导与积分就不能互换。因此，我们对积分和求导交换顺序，得到：
其中
而显然又存在：
因此可以得到：
如果用对数函数求导性质，即：
因此，可以得到：
因此上式又可以转换为:
如果用矩阵形式表示：
而如果我们用：
那么进一步可以得到矢量形式的表达式，即：
为了能够用Cauchy-Schwarz不等式，即：
需要将r*r维矩阵，转换成为标量形式，那么我们可以将上述方阵，分别左乘和右乘一个任意数值的向量，得到：
其中：
注意，上述
和
可以是任意常数形式列向量，上述操作后，就将r*r维矩阵转换成单个元素，也就是：
同样，由于概率密度的非负性， 
是存在的，因此可以进一步转换为：
对应Cauchy-Schwarz不等式，如果我们令：
且，
和
都已经是标量形式，因此，使用Cauchy-Schwarz不等式结论后可以得到：
又由于
和
是任意常数形式列向量
因此，上式又可以转换为：
显然上述两个积分可以分别表示为：
其中
而
可以进一步证明（见下文第二部分证明）：
其中
因此能得到：
，
因此，最终Cauchy-Schwarz不等式可以简化为：
由于
和
是任意的，因此可以假设他们之间存在如下关系：
那么:
因此：
又由于正定矩阵性质，
为大于0的标量元素，因此两边直接消除得到：
即：
而上式要对任意的向量
都要成立，因此得到：
上式表示左边的矩阵为非负定矩阵。而由于估计量
的方差为
主对角线上元素，因此最终得到：
因此得到了矢量形式的CRLB。
当然如果r=1,那么直接可以得到：
也就是标量形式的CRLB。
3. Fisher信息矩阵的两种等效形式证明
上述证明过程中，用到了：
下面进行证明，利用正则条件，即：
上式中对
求偏导，得到：
再次利用积分和偏导的可交换性，得到：
而又因为：
因此得到：
也就是：
也就是
上式如果用矩阵形式表示，就是：
证明完毕。
4. Cauchy-Schwarz不等式中等式成立条件
根据Cauchy-Schwarz不等式性质，如果存在与x无关的常数，但该常数有可能是待估计量θ 的函数，因此用
表示，满足：
那么Cauchy-Schwarz不等式中的等式成立。
两边消除
后，可以得到：
由于
和
是任意的，因此仍然可以假设他们之间存在如下关系：
同时考虑到
是对称矩阵，那么得到：
由于
是任意的，因此存在：
即需要满足：
为了求出具体的
，现对上式两边对
再次求偏导，得到：
对等式两边求期望，得到：
由于
是无偏估计，且
和
均与观测量x无关，那么：
因此，最终得到：
利用第二部分的证明，得到：
带入后得到：
上式如果要成立，那么
只能为1。
因此，最终Cauchy-Schwarz不等式中的等式成立的条件，也就是无偏估计方差能够达到CRLB下限的条件为：
也就是说，如果对似然函数的对数进行偏导后，能够写成上述形式，那么上式中的
就是最小方差无偏估计，而估计的方差满足：
且达到CRLB下限。