【ARC 127 D】Sum of Min of Xor 题解

Description

给定序列 $a,b$，求

$$\sum _{1\le i<j\le N}\min (A_i\oplus A_j,B_i\oplus B_j)$$

$1\le N\le 250000,0\le A_i,B_i\le 2^{18}$，时限 $\text{5.00s}$，空限 $\text{1024MB}$。

Solution

首先，我们将 $(i,j)$ 分为两类——第一类满足 $A_i\oplus A_j<B_i\oplus B_j$，第二类满足 $B_i\oplus B_j<A_i\oplus A_j$，第三类满足 $A_i\oplus A_j=B_i\oplus B_j$。显然，将这三类的贡献加起来就是答案。

先考虑第一类。

考虑倒序枚举，并将所有的 $j$ 放入一个数据结构中。关键在于，对于每个 $i$ 求出 ${\sum }_j{A}_i\oplus A_j\times [A_i\oplus A_j<B_i\oplus B_j]$。不难想到枚举 $A_i\oplus A_j$ 与 $B_i\oplus B_j$ 在二进制表示下的最长公共前缀，那么最长公共前缀的长度 $s$ 必然是满足 $A_{i,s}\oplus A_{j,s}=B_{i,s}\oplus B_{j,s}$（即 $A_{i,s}\oplus B_{i,s}=A_{j,s}\oplus B_{j,s}$） 的最大 $s$，其中 $A_{x,y}$ 和 $B_{x,y}$ 分别表示 $A_x$ 和 $B_x$ 在二进制表示下的前 $y$ 位。

于是，我们可以在倒序扫描的过程中，每次在 Trie 树上插入 $A_i\oplus B_i$。那么，我们每次只要在 Trie 树上定位到相应的节点，那么我们就找到了所有的满足 $A_{i,s}\oplus A_{j,s}=B_{i,s}\oplus B_{j,s}$ 的 $j$。

固定完 $s$ 后，我们还要保证 $A_{i,s+1}\oplus A_{j,s+1}<B_{i,s+1}\oplus B_{j,s+1}$。不难发现，这个式子让我们固定了 $A_j,B_j$ 在第 $s+1$ 位上的值——从而，我们只需要使用一个“Trie 套桶”的结构，对于每个 Trie 树上的点开一个小桶，存储对应位上 $(0,0)(1,1)(0,1)(1,0)$ 出现的次数。

于是我们解决了第一类情况。第二类同理。第三类十分容易，这里不再赘述。

若令 $m=2^{18}$，则每次插入都是 $O({\log }^{2}m)$ 的，每次查询也是 $O({\log }^{2}m)$ 的，从而总时间复杂度为 $O(n{\log }^{2}m)$。空间复杂度为 $O(n\log m)$，可以通过本题。

PS: 话说这题能不能做到 $O(n\log m)$ 啊？蒟蒻求教/kel

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