ARC 106(Atcoder Regular Contest 106)A-D题解

由于各种各样的原因，本蒟蒻无法参加ARC 106的比赛，只能赛后看题。

A: 不能溢出(WA×2)，用__int128搞结果好多东西没有转型(WA×1)，把输入的$n$前的$longlong$误去掉了(WA×1)

B: 没有特判两条边在一个连通块内的情况，导致并查集的$merge$操作写挂(WA×2)

C: 没看到$l$两两不同，$r$两两不同的要求(WA×1)，没看到$l_i,r_i\le 10^9$的条件(WA×1)，没特判$n=1$的情况(WA×1)

D: 式子推错，导致重查浪费时间。

菜成这个样子，估计蓝勾拿不到了吧/kel

Solution

A

略。

B

可以发现一个性质: 如果一个连通块内，节点的所有初始权值之和与目标权值之和相等，那么这个连通块一定能够达到要求，否则一定不行。

于是，我们使用并查集维护连通块内节点初始权值之和与节点目标值之和。最后，看一下是否所有连通块都满足要求。

注意$merge$的时候特判一下连接的两个节点已在一个连通块内的情况。

时间复杂度$O(nlogn)$。使用按秩合并并查集(启发式合并)可以优化到$O(n)$，不过这并没有必要。

C

这是一道比较新颖的题套题。

首先，我们先看看题目中的那道题。毫无疑问，两人最终选定的区间都两两不相交，但是$T$(Takahashi)的解法正确(能够得到最大值)，$A$(Aoki)的解法错误。

所以，我们先判断$m<0$的情况。根据上面两人解法的性质，显然应该输出$-1$。

然后，考虑如何构造。首先，我们先摆一个极大区间，左端点为$1$，右端点为$10^9$。此时，$A$只能选择一个区间。

然后，我们构造$m+1$个互不相交的小区间，让$T$把这些区间选走。最后，对于剩下的$n-(m-2)$个区间，我们随便放一些极大区间，凑满$n$个区间。所以，如果$n-(m-2)＜0$即$m\ge n-1$，要直接输出$-1$。

注意，$l$必须两两不同，$r$也必须两两不同。所有极大区间的右端点不能超过$10^9$。

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可是为啥还是$\lfloor$ WA $\rceil$？

你看一下$n=1,m=0$的情况，你程序输出了$-1$；可以你是不是可以构造出一个满足要求的区间呢？

于是特判一下这个边界情况，就过了。

时间复杂度$O(n)$。

D

一道使用二项式定理推式子的套路数学题。

${\sum }_{i=1}^{n-1}{\sum }_{j=i+1}^n(a_i+a_j{)}^x$

$=\frac{1}{2}[{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n(A_i+A_j{)}^x-{\sum }_{i=1}^n(2a_i{)}^x]$

可以发现，对于一个$x$，后面的${\sum }_{i=1}^n(2a_i{)}^x$可以$O(n)$去求，前面的$\frac{1}{2}$也好搞(最后乘上$2$在模$998244353$意义下的逆元即可)。关键在于中间的那个式子。

我们只保留中间的那个东西：

${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n(A_i+A_j{)}^x$
$={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{k=0}^x{C}_x^k{A}_i^k{A}_j^{x-k}$(二项式定理展开)
$={\sum }_{k=0}^x{C}_x^k({\sum }_{i=1}^n{A}_i^k)({\sum }_{i=1}^n{A}_i^{x-k})$

可以发现，此时我们可以分别用阶乘逆元预处理+$O(1)$查询求出$C_x^k$，单次在$O(nlogx)$的复杂度下求出${\sum }_{i=1}^n{A}_i^k$与${\sum }_{i=1}^n{A}_i^{x-k}$。

总时间复杂度$O(nklogk)$。壮哉我大二项式定理！

花絮: 我这题代码的复杂度还是蛮高的，结果不卡常就轻松通过(还只有$1.1s$)……$AT$的评测机太强啦！

E

大力网络流建图优化，不会。

F

多项式神仙题，不会。