数论作业一

1.

证: 设这个数为2n+1;

则:

$(2n+1{)}^2$

= $4n^2+4n+1$

$(2n+1{)}^2$ -1

=$4n^2+4n$

=4n(n+1)

若 2|n

则 8|4n

若 n%2==1;

则 2|(n+1)

∴ 8|4(n+1)

∴ 得证

2.

证：

当n是偶数时，则令=2k;

∴ $3^n+1$

$=3^{2k}+1$

$=9^k+1$

$=(1+8{)}^k+1$

$=(C_k^0\ast 8^k+C_k^1\ast 8^{k-1}+\dots \dots +C_k^{k-1}\ast 8+C_k^k\ast 1)+1$

$=(C_k^0\ast 8^k+C_k^1\ast 8^{k-1}+\dots \dots +C_k^{k-1}\ast 8+2)$

∵ $2|(C_k^0\ast 8^k+C_k^1\ast 8^{k-1}+\dots \dots +C_k^{k-1}\ast 8+2)$

∴ $2|3^n+1$

当n是奇数时，则令n=2k+1

∴ $3^n+1$

$=3^{2k+1}+1$

$=3\ast 9^k+1$

$=3\ast (1+8{)}^k+1$

$=3\ast (C_k^0\ast 8^k+C_k^1\ast 8^{k-1}+\dots \dots +C_k^{k-1}\ast 8+C_k^k\ast 1)+1$

$=3\ast C_k^0\ast 8^k+3\ast C_k^1\ast 8^{k-1}+\dots \dots +3\ast C_k^{k-1}\ast 8+4$

∵ $4|3\ast C_k^0\ast 8^k+3\ast C_k^1\ast 8^{k-1}+\dots \dots +3\ast C_k^{k-1}\ast 8+4$

∴ $4|3^n+1$

由上可得:无论n是奇数还是偶数，对于任意正整数a>2，都有$2^a\nmid 3^n+1$

3.

设a=q1b+r1=q2b+r2

其中-|b|/2<=r1,r2<|b|/2

不妨设q1>q2 因为q1,q2为整数

所以q2max=q1-1 所以q2maxb+r2=(q2max+1)b+r1

即q2maxb+r2=q2maxb+b+r1

即r2=b+r1 r1min=-|b|/2

r2min=-|b|/2+b

当b为正数时

r2min=|b|/2

当b为负数时

r2min=-b-|b|/2

与题意不符

所以只有一个对应解

证毕。

————By C202201luoyiran

4.

证明：如果(2a+3b) mod 17=0

∴(18a+27b) mod 17=0

∴(18a+27b-17b) mod 17=0

∴(18a+10b) mod 17=0

(9a+5b) mod 17 *2

=(18a+10b) mod 17

=0

∴(9a+5b) mod 17=0

By @C202207xiapeixuan

5.

证：

设n的正因数有k个；

1. $\sqrt[2]{n}\notin z$

则$2\mid k$

∴$(d_1{d}_2{d}_3\dots \dots d_k{)}^2$

$=[(d_1{d}_k)\ast (d_2{d}_{k-1})\ast \dots \dots \ast (d_{k/2}{d}_{k/2+1}){]}^2$

$=(n\ast n\ast n\ast \dots \dots \ast n{)}^2（k/2个n)$

$=(n{)}^k$

2.$\sqrt[2]{n}\in z$

则 $2\nmid k$

∴$(d_1{d}_2{d}_3\dots \dots d_k{)}^2$

$=[(d_1{d}_k)\ast (d_2{d}_{k-1})\ast \dots \dots \ast (d_{(k-1)/2}{d}_{(k+1)/2+1})\ast d_{(k+1)/2}{]}^2$
$=n^2\ast n^2\ast \dots \dots \ast n$
$=n^k$

6.

（1）：2 （2）：1 （3）：6 （4）：887490

————By @C202201tanfuwen

9.

设：d=(a,b);

则 a=md,b=nd;

∴原数列为：

$m\ast d,2\ast m\ast d,3\ast m\ast d,\dots \dots ,m\ast n\ast d^2$

被b整除即能被d整除且能被n整除

将原数组除以d：

$m,2\ast m,3\ast m,\dots \dots ,n\ast m\ast d$

所以含有n的数为$n\ast m\ast 1,n\ast m\ast 2,n\ast m\ast 3,\dots \dots ,n\ast m\ast d$

所以有d个

10.

证:
设 $\sqrt[n]{a}=\frac{p}{q}$,并且q>1且(p,q)=1;

因为 $\sqrt[n]{a}=\frac{p}{q}$

所以 $a=\frac{p^n}{q^n}$

因为 (p,q)=1;

所以 $(p^n,q^n)=1$

所以 $p^n$和$q^n$互质

所以 $\frac{p^n}{q^n}$为小数，不符合题意，不成立；

所以 $\sqrt[n]{a}$不是整数即是无理数，

因为 $\sqrt[n]{a}$不是整数，

所以 $\sqrt[n]{a}$是无理数。

证毕

14.

证明: 设存在一个$n\in z$，使得$121\mid n^2+2n+12$

则 $n^2+2n+12=121k(k\in z)$

所以 $(n+1{)}^2+11=121k$

$(n+1{)}^2=121k-11$

$=11(11k-1)$

因为 $11|11k$

所以 $11\nmid 11k-1$

因为 $11\mid 11$

所以$\sqrt[2]{11(11k-1)}\notin z$

所以 $n\notin z$

故矛盾

所以 得证