数论 （一） ”质数“ 那点事

目录

 质数判定

 质数筛选

Eratosthenes算法 （不会读 233~~） 埃氏筛法

从2到n循环，筛去每个质数的整数倍的那些合数（循环到 i 没被筛去，则 i 一定是质数）

对每个质数x从它的x倍开始标记，值不超过N

线性筛法

一次循环筛去小于等于p1的素数乘以m得到的数

质因数分解

试除法+埃氏筛法

从2到，只要n中有这个质因子，就除尽（其中的合数被前面的质数判掉了）

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 先来热热身

1. 质数只有1和本身两个质因子
2. 任何一个数可以拆分成几个质数的乘积  n=q1^a*q2^b*q3^c...

 质数判定

若整数N为合数，则存在一个能整除 N 的 T （2<=T <= ）

上代码

#include<iostream> 
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std; 
int n;
bool is_prime(int n)
{
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)   
    if(n%i==0)  return false;
    if(n==1 || n==0) return false;
    return true;
}

 质数筛选

给定一整数N，求出1到N的所有质数

Eratosthenes算法 （不会读 233~~） 埃氏筛法

• 基本思想

1. 任何质数的整数倍都是合数  
2. 质数n ，整数2<=i<n  ,n % i ! = 0 ,n必为质数

从2到n循环，筛去每个质数的整数倍的那些合数（循环到 i 没被筛去，则 i 一定是质数）

• 优化    

1. 小于的x的整数倍之前被筛过了 

对每个质数x从它的x倍开始标记，值不超过N

上代码

#include<iostream> 
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std; 
int n;//1000
int v[1005]={0};
void primes(int n)
{
    memset(v,0,sizeof(v));//质数为0 合数为1
    v[1]=1,v[0]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(v[i]==0)
        {
            cout<<i<<' ';
            for(int j=i;j*i<=n;j++)  v[i*j]=1;
        }   
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    primes(n);
}

• 缺点：存在重复筛选 
• 原因：任意一个整数可以写成一些素数的乘积 n=p1^a * p2^b * p3^c，其中p1<p2<p3，这样这个数n就能被p1,p2和p3筛掉
• 解决方法：按照一个数的最小素因子筛去(也就是这里的p1)就可以啦，这也就有了线性筛素数

线性筛法

• 基本思想：用合数的最小质因子筛去这个合数，就不会重复筛去这个数

实现：当前数字是m=p1^a * p2^b * p3^c(p1<p2<p3且均为素数)，p1之前有pi,pj和pk三个素数。

      pi*m，pj*m，pk*m, p1*m 最小质因子  分别为pi , pj , pk , p1 ，本次循环即可筛去。

一次循环筛去小于等于p1的素数乘以m得到的数

上代码

#include<iostream> 
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
int n;//10000000
int minp[10000005]={0};
int num=0,a[10000005]={0};
void primes(int n)
{
	num=0;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(minp[i]==0)  minp[i]=i,a[++num]=i;
		for(int j=1;j<=num;j++)
		{
			if(a[j]>minp[i] || a[j]*i>n)  break;
			minp[a[j]*i]=a[j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=num;i++)  printf("%d\n",a[i]);
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	primes(n);
	return 0;
}

线性线性 时间O(n)

质因数分解

试除法+埃氏筛法

从2到，只要n中有这个质因子，就除尽（其中的合数被前面的质数判掉了）

#include<iostream> 
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std; 
int n;
int p[1000005]={0};
int c[1000]={0};
void divide(int n)
{
    cout<<n<<'=';
	int m=0;
	for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
	{
		if(n%i==0)//i为合数时，一定被前面的其质因子判掉了 
		{
			p[++m]=i;
			while(n%i==0) n=n/i,c[m]++;
		}
	}
	if(n>1) p[++m]=n,c[m]=1;//所有合数都被除尽变成0了
	
	for(int i=1;i<m;i++)  cout<<p[i]<<'^'<<c[i]<<'*';
	cout<<p[m]<<'^'<<c[m];
} 
int main()
{
    cin>>n;
    divide(n);
}