数论基础知识（数论第一波）

前言

数论中所有的数通常都是正整数，在出现的字母在未经说明的情况下为正整数

模运算

有些时候答案非常大，题目会要求你输出答案取模一个数的值
对于取模，有以下定理
1、 $(a+b)\%c=(a\%c+b\%c)\%c$
2、 $(a-b)\%c=(a\%c-b\%c)\%c$
3、 $(a*b)\%c=(a\%c)*(b\%c)\%c$
对于符号，我们可以简化成语言
和的余数等于余数的和，差的余数等于余数的差，积的余数等于余数的积。
肯定有人问：“为什么没有商的余数等于余数的商”
对于除法而言，及时除数与被除数都为整数，但商也不一定是整数，而加减乘在 $a,b$ 均为整数的情况下一定是整数

整除

质数（prime number，又称素数）

质数定义：不含有除了1和自身以外的其他因子的数称为质数（素数）
特殊：2是最小的质数，也是唯一的偶质数
质数判定定理：若一个数n找不到小于等于 $\sqrt{n}$ 的非1因数，则这个数是质数
素数定理：n充分大时，n以内的素数个数约为n/log₂n个
关于质数的东西有很多呀，不慌，慢慢来

1、整数的标准分解

一个大于1的整数一定可以唯一地写成若干个质数的幂的积
就像这样 $n=p_1^{w1}*p_2^{w2}*p_3^{w3}*p_4^{w4}*……*p_m^{wm}$

互质（coprime）：两个整数除1以外再没有其他因数，那么这两个数互质
两个互质的数的唯一分解中没有相同的质数

代码

void factorize(int n){
    for(int i = 2; n != 1; i ++){
        if( n%i == 0 ){
            p[++k] = i;
            while( n%i == 0 ){
                n /= i;
                w[k]++
            }
        }
    }
}

2、最大公约数与最小公倍数

两个数 $a,b$ 的最大公约数记为 $gcd(a,b)$ 或者 $(a,b)$ ~~（记住共产党）~~
两个数 $a,b$ 的最小公倍数记为 $lcm(a,b)$ 或者 $[a,b]$

我们用整数的标准分解来深度了解一下 $gcd$ 和 $lcm$
$x=p_1^{a1}*p_2^{a2}*p_3^{a3}*p_4^{a4}*……*p_m^{am}$
$y=p_1^{b1}*p_2^{b2}*p_3^{b3}*p_4^{b4}*……*p_n^{bn}$
其中 $p_n$ 和 $p_m$ 足够大， $a_i，b_i$ 可以为0
我们知道两个数的 $gcd$ 是两个数都有的最大因子，注意，是最大，说明 $p_x$ 一定取 $p_x^{ax}$ 或 $p_x^{bx}$ ，而两个数都有，说明取 $p_x^{min(ax,bx)}$
设 $o = max(n,m)$
∴ $gcd(x,y)=p_1^{min(a1,b1)}*p_2^{min(a2,b2)}*p_3^{min(a3,b3)}*……*p_o^{min(ao,bo)}$
而两个数的 $lcm$ 是既有因子 $x$ ，又有因子 $y$ ，说明 $lcm$ 的 $p1_x$ 一定满足 $p_x^{max(ax,bx)}|p1_x$ ，但又要求最小，所以 $p1_x$ 取 $p_x^{max(ax,bx)}$
∴ $lcm[x,y]=p_1^{max(a1,b1)}*p_2^{max(a2,b2)}*p_3^{max(a3,b3)}*……*p_o^{max(ao,bo)}$
而显然 $(x,y)*[x,y] = x*y$

3、欧拉筛法

埃拉托尼斯筛法相对于欧拉筛法而言太不实用，请读者自主学习
欧拉筛法如下：

void sieve(int x){
    for(int i = 2; i <= n; i ++){
        if( !v[i] ){
            p[++cnt] = i;
            v[i] = 1;
        }
        for(int j = 1; j <= cnt&&i*p[j] <= x; j ++){
            v[i*p[j]] = 1;
            if( i % p[i] ==  0)
                break;
        }
    }
}

我相信有很多读者不明白第二个循环，其实无论此时 $i$ 是否为质数，我们都需要把之前筛出来的素数乘 $i$ 来筛掉后面的素数，而欧拉筛的难点就在于对if (i % prime[j] == 0)这步的理解，当i是prime[j]的整数倍时，记 m = i / prime[j]，那么 i * prime[j+1] 就可以变为 (m * prime[j+1]) * prime[j]，这说明 i * prime[j+1] 是 prime[j] 的整数倍，不需要现在筛出，因为在之后筛除过程中i * prime[j+1] 这个合数一定会被prime[j]筛除，prime[j]之后的所有素数同理，所以break跳出循环。

欧拉函数求约数个数d[n]

若 $n$ 是素数， $d[n]=2$
若 $i\%p[j]\ne0$ ， $i$ 不存在 $p[j]$ 这个因子，说明 $i*p[j]$ 只包含 $p[j]$ 的一次方，所以 $d[i*p[j]] = d[i]*2$
若 $i\%p[j]=0$ ， $i$ 至少存在 $p[j]$ 的一次方，说明 $i*p[j]$ 至少包含 $p[j]$ 的二次方，我们用 $num[i]$ 表示 $i$ 的最小的质因子的次数，则 $d[i]$ 包含了 $（1+num[i]）$ 这个因式，由于 $i*prime[j]$ 和 $i$ 均以 $prime[j]$ 作为最小质因子，那么 $i*prime[j]$ 一定包含 $(1+num[i]+1)$ 这一因式
且不难看出 $num[i*prime[j]]=num[i]+1$ $d[i*p[j]]=\frac{d[i]}{num[i]+1}*(num[i]+2)$
代码

void sieve(int x){
    d[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i ++){
        if( !v[i] ){
            p[++cnt] = i;
            v[i] = 1;
            d[i] = 2;
        }
        for(int j = 1; j <= cnt&&i*p[j] <= x; j ++){
            v[i*p[j]] = 1;
            if( i % p[i] ==  0){
                num[i*p[j]] = num[i]+1;
                d[i*p[j]] = d[i]/(num[i]+1)*(num[i]+2);
                break;
            }
            d[i*p[j]] = d[i]*2;
            num[i*p[j]] = 1;
        }
    }
}