本文将对FM模型深度剖析，包括论文解读，公式推导，python实现和应用，FM模型如何做召回
文章目录
1. 论文解读：Factorization Machine(FM)
参考我的文章：Factorization Machine(FM)，2010
比较重要的几个知识点必须掌握:
- 为什么FM可以解决数据稀疏性问题？
- FM模型的优点有哪些？
- FM和LR模型的区别是什么？
- FM需要人工做特征交叉么？
- 手推FM模型的时间复杂度化简，并解释其中关键的化简步骤
- 假设我们在LR得到的结果比FM模型好，那你认为是什么原因呢？
2. FM模型的大佬级别理解
2.1 FM模型基础
2.1.1 FM模型的提出
2010年，FM模型由 Steffen Rendle在论文《Factorization Machines》提出
2.1.2 共轭转置矩阵
共轭： 本意为两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走。共轭即为按一定的规律相配的一对。通俗点说就是孪生。在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等。
共轭复数：两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)
2.1.3 正定矩阵
正定矩阵(Positive Definite Matrix)是一种实对称矩阵。
2.1.4 Cholesky 分解
Cholesky 分解，即楚列斯基分解（Cholesky Decomposition），也称乔里斯基分解。
2.1.5 线性回归模型
线性回归模型假设特征之间是相互独立的、不相关的。但在现实的某些场景中，特征之间往往是相关的，而不是相互独立的。比如<女性>和<化妆品>，<程序员>与<计算机类书籍>。
2.1.6 二阶多项式回归模型
特征两两组合，得到二阶多项式回归模型。
对局限的理解：
1、在处理数据时，经常采用one-hot编码的方法处理类别型数据，致使特征向量极其稀疏，POLY2进行无选择的特征交叉——原本就非常稀疏的特征向量更加稀疏，导致大部分交叉特征的权重缺乏有效的数据进行训练，无法收敛。
2、权重参数的数量由n直接上升到n^2，极大地增加了训练复杂度
2.2 FM模型原理
2.2.1 FM模型原理
FM模型假设特征两两相关。
2.2.2 FM模型化简
代数推导FM组合关系如下：
利用矩阵直观化推导FM模型的计算，具体推导如下：
FM模型的二次项等价化简过程如下：
FM模型最后化简如下图所示：
2.2.3 FM模型的损失函数
FM模型可用于回归（Regression）、二分类（Binary classification）、排名（Ranking）任务，对于FM召回，会单独讲，其对应的损失函数如下：
FM的二分类问题，需要借助 LR 模型转化成二分类问题。
按 y 取值（标注），分为 y∈{0, 1} 和 y∈{-1, 1}。
假设，聚焦 FM 的二分类交叉熵损失函数，其公式表达如下：
2.2.4 FM模型训练
FM的训练（学习）算法主要有三种：
- 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent，SGD）
- 交替最小二乘法（Alternating Least-Squares，ALS）
- 马尔科夫链蒙特卡洛法（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）
详细的FM模型训练，可以参考Steffen Rendle的论文《Factorization Machines with libFM》，写的很全面。
采用随机梯度下降法（SGD）对FM进行训练。
假设数据集的标记y∈{-1,1}，则用梯度下降法对FM训练（学习）公式推导如下：
2.2.5 FM模型特征工程
FM模型对特征两两自动组合，不需要人工参与，类别特征One-Hot化。
其实工程上是需要少量的人工特征工程的，这样效果会更好
举个FM特征工程的例子。已知一个电影数据集如下：
其中，黄色部分是类别特征；绿色部分是集合特征；白色部分是连续特征。
电影数据集，FM特征化之后得：
FM特征的二次项交互如下图所示：
FM的某个类别特征 One-Hot 化后，只是1位起作用，0位不起作用，便于计算和工程实现。
注意，FM的连续特征是否离散化，理论上都可以，根据需要确定。
2.3 FM模型的应用
为了全面、完整的说明FM模型在二分类上的应用，特举4个例子（或者说是4个视角）如下：
2.3.1 libFM实战
libFM是Steffen Rendle开发的FM模型库。更详细信息可以在官网获得。
举个基于libFM的例子：
数据集：diabetes
windows命令如下：
libfm -task r -train diabetes_scale_train.txt -test diabetes_scale_test.txt -dim '1,1,8' -method sgd -learn_rate 0.01 -iter 10 -regular ’0,0,0.01’ -out fm_sgd_pred.txt
2.4.2 FM二分类
基于Python手动实现FM算法，并进行二分类预估。
数据集：diabetes.csv
数据集切分代码如下：
import numpy as np
import random
# 数据集切分
def loadData(fileName,ratio): # ratio，训练集与测试集比列
trainingData = []
testData = []
with open(fileName) as txtData:
lines = txtData.readlines()
for line in lines:
lineData = line.strip().split(',')
if random.random() < ratio: #数据集分割比例
trainingData.append(lineData) #训练数据集列表
else:
testData.append(lineData) #测试数据集列表
np.savetxt('../data/diabetes_train.txt', trainingData, delimiter=',',fmt='%s')
np.savetxt('../data/diabetes_test.txt', testData, delimiter=',',fmt='%s')
return trainingData,testData
diabetes_file = '../data/diabetes.csv'
trainingData, testData = loadData(diabetes_file,0.8)
FM二分类的随机梯度下降训练代码如下：
# FM二分类
# diabetes皮马人糖尿病数据集
# coding:UTF-8
from numpy import *
from random import normalvariate # 正态分布
from datetime import datetime
import pandas as pd
import numpy as np
# 处理数据
def preprocessData(data):
feature = np.array(data.iloc[:, :-1]) # 取特征(8个特征)
label = data.iloc[:, -1].map(lambda x: 1 if x == 1 else -1) # 取标签并转化为 +1，-1
# 将数组按行进行归一化
zmax, zmin = feature.max(axis=0), feature.min(axis=0) # 特征的最大值，特征的最小值
feature = (feature - zmin) / (zmax - zmin)
label = np.array(label)
return feature, label
def sigmoid(inx):
return 1.0 / (1 + np.exp(-inx))
# 训练FM模型
def FM(dataMatrix, classLabels, k, iter, alpha):
'''
:param dataMatrix: 特征矩阵
:param classLabels: 标签矩阵
:param k: v的维数
:param iter: 迭代次数
:return: 常数项w_0, 一阶特征系数w, 二阶交叉特征系数v
'''
# dataMatrix用的是matrix, classLabels是列表
m, n = shape(dataMatrix) # 矩阵的行列数，即样本数m和特征数n
# 初始化参数
w = zeros((n, 1)) # 一阶特征的系数
w_0 = 0 # 常数项
v = normalvariate(0, 0.2) * ones((n, k)) # 即生成辅助向量(n*k)，用来训练二阶交叉特征的系数
for it in range(iter):
for x in range(m): # 随机优化，每次只使用一个样本
# 二阶项的计算
inter_1 = dataMatrix[x] * v # 每个样本(1*n)x(n*k),得到k维向量（FM化简公式大括号内的第一项）
inter_2 = multiply(dataMatrix[x], dataMatrix[x]) * multiply(v, v) # 二阶交叉项计算，得到k维向量（FM化简公式大括号内的第二项）
interaction = sum(multiply(inter_1, inter_1) - inter_2) / 2. # 二阶交叉项计算完成（FM化简公式的大括号外累加）
p = w_0 + dataMatrix[x] * w + interaction # 计算预测的输出，即FM的全部项之和
tmp = 1 - sigmoid(classLabels[x] * p[0, 0]) # tmp迭代公式的中间变量，便于计算
w_0 = w_0 + alpha * tmp * classLabels[x]
for i in range(n):
if dataMatrix[x, i] != 0:
w[i, 0] = w[i, 0] + alpha * tmp * classLabels[x] * dataMatrix[x, i]
for j in range(k):
v[i, j] = v[i, j] + alpha * tmp * classLabels[x] * (
dataMatrix[x, i] * inter_1[0, j] - v[i, j] * dataMatrix[x, i] * dataMatrix[x, i])
# 计算损失函数的值
if it % 10 == 0:
loss = getLoss(getPrediction(mat(dataMatrix), w_0, w, v), classLabels)
print("第{}次迭代后的损失为{}".format(it, loss))
return w_0, w, v
# 损失函数
def getLoss(predict, classLabels):
m = len(predict)
loss = 0.0
for i in range(m):
loss -= log(sigmoid(predict[i] * classLabels[i]))
return loss
# 预测
def getPrediction(dataMatrix, w_0, w, v):
m = np.shape(dataMatrix)[0]
result = []
for x in range(m):
inter_1 = dataMatrix[x] * v
inter_2 = multiply(dataMatrix[x], dataMatrix[x]) * multiply(v, v) # multiply对应元素相乘
# 完成交叉项
interaction = np.sum(multiply(inter_1, inter_1) - inter_2) / 2.
p = w_0 + dataMatrix[x] * w + interaction # 计算预测的输出
pre = sigmoid(p[0, 0])
result.append(pre)
return result
# 评估预测的准确性
def getAccuracy(predict, classLabels):
m = len(predict)
allItem = 0
error = 0
for i in range(m): # 计算每一个样本的误差
allItem += 1
if float(predict[i]) < 0.5 and classLabels[i] == 1.0:
error += 1
elif float(predict[i]) >= 0.5 and classLabels[i] == -1.0:
error += 1
else:
continue
return float(error) / allItem
if __name__ == '__main__':
trainData = '../data/diabetes_train.txt'
testData = '../data/diabetes_test.txt'
train = pd.read_csv(trainData)
test = pd.read_csv(testData)
dataTrain, labelTrain = preprocessData(train)
dataTest, labelTest = preprocessData(test)
date_startTrain = datetime.now()
print("开始训练")
w_0, w, v = FM(mat(dataTrain), labelTrain, 4, 100, 0.01)
print("w_0:", w_0)
print("w:", w)
print("v:", v)
predict_train_result = getPrediction(mat(dataTrain), w_0, w, v) # 得到训练的准确性
print("训练准确性为：%f" % (1 - getAccuracy(predict_train_result, labelTrain)))
date_endTrain = datetime.now()
print("训练用时为：%s" % (date_endTrain - date_startTrain))
print("开始测试")
predict_test_result = getPrediction(mat(dataTest), w_0, w, v) # 得到训练的准确性
print("测试准确性为：%f" % (1 - getAccuracy(predict_test_result, labelTest)))
基于diabetes数据集，FM的训练结果如下：
代码解析1 —— FM模型化简的代码：
代码解析2 —— FM二分类随机梯度下降法训练 w_0 的迭代公式代码 ：
代码解析3 —— FM二分类 v(i,f) 的求导代码：
2.4.3 FM的Tensorflow实现
基于 TensorFlow 2 实现FM算法。
Python 3.7 + TensorFlow 2 + Sklearn的代码如下：
import tensorflow as tf
from sklearn.datasets import load_breast_cancer
from sklearn.model_selection import train_test_split
K = tf.keras.backend
# 自定义FM的二阶交叉层
class FMLayer(tf.keras.layers.Layer):
# FM的k取4（演示方便）
def __init__(self, input_dim, output_dim=4, **kwargs):
self.input_dim = input_dim
self.output_dim = output_dim
super(FMLayer, self).__init__(**kwargs)
# 初始化训练权重
def build(self, input_shape):
self.kernel = self.add_weight(name='kernel',
shape=(self.input_dim, self.output_dim),
initializer='glorot_uniform',
trainable=True)
super(FMLayer, self).build(input_shape)
# 自定义FM的二阶交叉项的计算公式
def call(self, x):
a = K.pow(K.dot(x, self.kernel), 2)
b = K.dot(K.pow(x, 2), K.pow(self.kernel, 2))
return K.sum(a-b, 1, keepdims=True)*0.5
# 输出的尺寸大小
def compute_output_shape(self, input_shape):
return input_shape[0], self.output_dim
# 实现FM算法
def FM(feature_dim):
inputs = tf.keras.Input((feature_dim,))
# 线性回归
liner = tf.keras.layers.Dense(units=1,
bias_regularizer=tf.keras.regularizers.l2(0.01),
kernel_regularizer=tf.keras.regularizers.l1(0.02),
)(inputs)
# FM的二阶交叉项
cross = FMLayer(feature_dim)(inputs)
# 获得FM模型（线性回归 + FM的二阶交叉项）
add = tf.keras.layers.Add()([liner, cross])
predictions = tf.keras.layers.Activation('sigmoid')(add)
model = tf.keras.Model(inputs=inputs, outputs=predictions)
model.compile(optimizer=tf.keras.optimizers.Adam(0.001),
loss=tf.keras.losses.binary_crossentropy,
metrics=[tf.keras.metrics.binary_accuracy])
return model
# 训练FM模型
def train():
fm = FM(30)
data = load_breast_cancer()
# sklearn 切分数据
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(data.data, data.target, test_size=0.2,
random_state=11, stratify=data.target)
fm.fit(X_train, y_train, epochs=5, batch_size=20, validation_data=(X_test, y_test))
return fm
if __name__ == '__main__':
fm = train()
fm.summary()
训练结果如下：
基于TensorFlow训练的FM模型的结构、结果
2.4.4 FM抖音短视频推荐实践
详细内容请参考：ICME2019短视频内容理解与推荐竞赛
字节跳动给了一个参考模型——FM模型（baseline）。
其中抖音实现的FM类代码如下：
import tensorflow as tf
class FMModelParams(object):
""" class for initializing weights """
def __init__(self, feature_size, embedding_size):
self._feature_size = feature_size
self._embedding_size = embedding_size
def initialize_weights(self):
""" init fm weights
Returns
weights:
feature_embeddings: vi, vj second order params
weights_first_order: wi first order params
bias: b bias
"""
weights = dict()
weights_initializer=tf.glorot_normal_initializer()
bias_initializer=tf.constant_initializer(0.0)
weights["feature_embeddings"] = tf.get_variable(
name='weights',
dtype=tf.float32,
initializer=weights_initializer,
shape=[self._feature_size, self._embedding_size])
weights["weights_first_order"] = tf.get_variable(
name='vectors',
dtype=tf.float32,
initializer=weights_initializer,
shape=[self._feature_size, 1])
weights["fm_bias"] = tf.get_variable(
name='bias',
dtype=tf.float32,
initializer=bias_initializer,
shape=[1])
return weights
class FMModel(object):
""" FM implementation """
@staticmethod
def fm_model_fn(features, labels, mode, params):
""" build tf model"""
#parse params
embedding_size = params['embedding_size']
feature_size = params['feature_size']
batch_size = params['batch_size']
learning_rate = params['learning_rate']
field_size = params['field_size']
optimizer_used = params['optimizer']
#parse features
feature_idx = features["feature_idx"]
feature_idx = tf.reshape(feature_idx, shape=[batch_size, field_size])
labels = tf.reshape(labels, shape=[batch_size, 1])
feature_values = features["feature_values"]
feature_values = tf.reshape(feature_values, shape=[batch_size, field_size, 1])
# tf fm weights
tf_model_params = FMModelParams(feature_size, embedding_size)
weights = tf_model_params.initialize_weights()
embeddings = tf.nn.embedding_lookup(
weights["feature_embeddings"],
feature_idx
)
weights_first_order = tf.nn.embedding_lookup(
weights["weights_first_order"],
feature_idx
)
bias = weights['fm_bias']
#build function
##first order
first_order = tf.multiply(feature_values, weights_first_order)
first_order = tf.reduce_sum(first_order, 2)
first_order = tf.reduce_sum(first_order, 1, keepdims=True)
##second order
### feature * embeddings
f_e_m = tf.multiply(feature_values, embeddings)
### square(sum(feature * embedding))
f_e_m_sum = tf.reduce_sum(f_e_m, 1)
f_e_m_sum_square = tf.square(f_e_m_sum)
### sum(square(feature * embedding))
f_e_m_square = tf.square(f_e_m)
f_e_m_square_sum = tf.reduce_sum(f_e_m_square, 1)
second_order = f_e_m_sum_square - f_e_m_square_sum
second_order = tf.reduce_sum(second_order, 1, keepdims=True)
##final objective function
logits = second_order + first_order + bias
predicts = tf.sigmoid(logits)
##loss function
sigmoid_loss = tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(logits=logits, labels=labels)
sigmoid_loss = tf.reduce_mean(sigmoid_loss)
loss = sigmoid_loss
#train op
if optimizer_used == 'adagrad':
optimizer = tf.train.AdagradOptimizer(
learning_rate=learning_rate,
initial_accumulator_value=1e-8)
elif optimizer_used == 'adam':
optimizer = tf.train.AdamOptimizer(learning_rate=learning_rate)
else:
raise Exception("unknown optimizer", optimizer_used)
train_op = optimizer.minimize(loss, global_step=tf.train.get_global_step())
#metric
eval_metric_ops = {
"auc": tf.metrics.auc(labels, predicts)
}
predictions = {
"prob": predicts}
return tf.estimator.EstimatorSpec(
mode=tf.estimator.ModeKeys.TRAIN,
predictions=predicts,
loss=loss,
eval_metric_ops=eval_metric_ops,
train_op=train_op)
2.5 FM模型总结
2.5.1 FM模型优点
FM模型适用与数据稀疏场景。
2.5.2 线性回归 VS FM
FM模型由线性回归模型演化出来。
最大区别是：线性回归模型的特征独立，而FM模型的特征两两相关。
2.5.3 LR VS FM
LR罗辑回归模型与FM因子分解机模型的对比如下表所示：
2.5.4 FM模型演化
在FM模型的基础上，发展出FFM、DeepFM、xDeepFM等模型。
FM模型反映了特征两两相关，但很多时候某一类特征之间存在关系，或者全部特征都存在关系，这时候FM模型并不适用，所以在FM模型基础上发展出FFM、DeepFM、xDeepFM等模型
最后，给你留5个思考题：
1、FM模型能够解决冷启动问题吗，为什么？
2、FM模型的k值一般取多少，为什么吗？
3、FM模型学习后，特征还是很稀疏，或者说权重很小，怎么处理？
4、FM模型怎么做召回？
5、对比一下FM模型与LR逻辑回归模型，怎么进行技术选型吗？
3. FM模型做召回
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