1 简介
IoU又名交并比，是一种计算不同图像相互重叠比例的算法，时常被用于深度学习领域的目标检测或语义分割任务中。
1.1 IoU在目标检测中的应用
在目标检测任务中，我们时常会让模型一次性生成大量的候选框（candidate bound），然后再根据每一个框的置信度对框进行排序，进而依次计算框与框之间的IoU，以非极大值抑制的方式，来判断到底哪一个是我们真正要找的物体，哪几个又该删除。例如在做人脸检测时，模型输出的可能是左图，而最终我们得到的是右图。
在我们得到最终的输出后，也可以拿输出框与原标记框（ground truth bound）之间的IoU，使用1-IoU来作为loss（区间[0,1]找极小值），并以此实现模型的迭代优化。
模型输出框（黄色）与真实人脸框（红色）计算IoU
1.2 IoU在语义分割中的应用
在语义分割任务里，我们同样可以计算图像中的预测区域与真实区域之间的IoU，并使用1-IoU作为Loss来对模型进行迭代优化。
使用模型抠出左图中的人像，右图红色区域为真实人像区域，黄色区域为模型预测结果
1.3 IoU的终极目标
通过上述几个例子，我们能够发现，计算IoU可以看做是在比较两个框或者两个图像的大小、区域、位置相不相同，进而可以把它想象成是在比较两个图像之间的几何图形相似度，那么我们不妨想一想，这个相似度都与哪些参数相关呢？我们能想到的有重叠比例、图形距离、形状相似度（矩形长宽比）等等。
下面我将为大家介绍IoU的计算原理，以及它是如何一步一步进行优化，朝着理想的方向迈进的。
2 IoU
2.1 IoU原理
IoU其实是Intersection over Union的简称，也叫‘交并比’。IoU在目标检测以及语义分割中，都有着至关重要的作用。
首先，我们先来了解一下IoU的定义：
直观来讲，我们可以把IoU的值定为为两个图形面积的交集和并集的比值，如下图所示：
通过IoU来评判两个图像的重合度具有以下几点优点：
- 具有尺度不变性；
- 满足非负性；
- 满足对称性；
但与此同时，IoU也有几点很明显的不足：
- 如果|A∩B|=0,也就是两个图像没有相交时，无法比较两个图像的距离远近；
- 无法体现两个图像到底是如何相交的。
我们可以认为，这个IoU初步满足了计算两个图像的几何图形相似度的要求，简单实现了图像重叠度的计算，但无法体现两个图形之间的距离以及图形长宽比的相似性。
2.2 IoU计算
下面我来带大家手动计算一下IoU：
2.3 IoU实现
import numpy as np
# box:[上, 左, 下, 右]
box1 = [0,0,8,6]
box2 = [2,3,10,9]
def IoU(box1, box2):
# 计算中间矩形的宽高
in_h = min(box1[2], box2[2]) - max(box1[0], box2[0])
in_w = min(box1[3], box2[3]) - max(box1[1], box2[1])
# 计算交集、并集面积
inter = 0 if in_h < 0 or in_w < 0 else in_h * in_w
union = (box1[2] - box1[0]) * (box1[3] - box1[1]) + \
(box2[2] - box2[0]) * (box2[3] - box2[1]) - inter
# 计算IoU
iou = inter / union
return iou
IoU(box1, box2)Out: 0.23076923076923078
3 GIoU
3.1 GIoU原理
GIoU（Generalized Intersection over Union）相较于IoU多了一个‘Generalized’，这也意味着它能在更广义的层面上计算IoU，并解决刚才我们说的‘两个图像没有相交时，无法比较两个图像的距离远近’的问题。
GIoU的计算公式为：
其中C代表两个图像的最小包庇面积，也可以理解为这两个图像的最小外接矩形的面积。
由此我们可以看出：
- 原有IoU取值区间为[0,1]，而GIoU的取值区间为[-1,1]；在两个图像完全重叠时，IoU=GIoU=1，在两个图像距离无限远时，IoU=0而GIoU=-1。
- 与IoU只关注重叠区域不同，GIoU不仅关注重叠区域，还关注非重叠区域，这样能更好的的反映两个图像的重合度。
此时我们可以认为，GIoU完善了图像重叠度的计算功能，但仍无法对图形距离以及长宽比的相似性进行很好的表示。
注：GIoU论文地址https://arxiv.org/pdf/1902.09630.pdf
3.2 GIoU计算
3.3 GIoU实现
import numpy as np
# box:[上, 左, 下, 右]
box1 = [0,0,8,6]
box2 = [2,3,10,9]
def GIoU(box1, box2):
# 计算最小包庇面积
y1,x1,y2,x2 = box1
y3,x3,y4,x4 = box2
area_C = (max(x1,x2,x3,x4)-min(x1,x2,x3,x4)) * \
(max(y1,y2,y3,y4)-min(y1,y2,y3,y4))
# 计算IoU
in_h = min(box1[2], box2[2]) - max(box1[0], box2[0])
in_w = min(box1[3], box2[3]) - max(box1[1], box2[1])
inter = 0 if in_h < 0 or in_w < 0 else in_h * in_w
union = (box1[2] - box1[0]) * (box1[3] - box1[1]) + \
(box2[2] - box2[0]) * (box2[3] - box2[1]) - inter
iou = inter / union
# 计算空白部分占比
end_area = (area_C - union)/area_C
giou = iou - end_area
return giou
GIoU(box1, box2)Out: 0.09743589743589745
4 DIoU
4.1 DIoU原理
GIoU虽然解决了IoU的一些问题，但是它并不能直接反映预测框与目标框之间的距离，DIoU（Distance-IoU）即可解决这个问题，它将两个框之间的重叠度、距离、尺度都考虑了进来，DIoU的计算公式如下：
其中b，bgt分别代表两个框的中心点，ρ代表两个中心点之间的欧氏距离，C代表最小包庇矩形的对角线，即如下图所示：
DIoU相较于其他两种计算方法的优点是：
- DIoU可直接最小化两个框之间的距离，所以作为损失函数的时候Loss收敛的更快；
- 在两个框完全上下排列或左右排列时，没有空白区域，此时GIoU几乎退化为了IoU，但是DIoU仍然有效。
此时我们可以认为，DIoU在完善图像重叠度的计算功能的基础上，实现了对图形距离的考量，但仍无法对图形长宽比的相似性进行很好的表示。
注：DIoU论文地址 https://arxiv.org/pdf/1911.08287.pdf
4.3 DIoU计算
通过计算可得，黄框中心点K、蓝框中心点J的坐标分别为：
K：（3,4） J：（6,6）
那么此时的DIoU计算公式为：
4.3 DIoU实现
import numpy as np
import IoU
# box:[上, 左, 下, 右]
box1 = [0,0,8,6]
box2 = [2,3,10,9]
def DIoU(box1, box2):
# 计算对角线长度
y1,x1,y2,x2 = box1
y3,x3,y4,x4 = box2
C = np.sqrt((max(x1,x2,x3,x4)-min(x1,x2,x3,x4))**2 + \
(max(y1,y2,y3,y4)-min(y1,y2,y3,y4))**2)
# 计算中心点间距
point_1 = ((x2+x1)/2, (y2+y1)/2)
point_2 = ((x4+x3)/2, (y4+y3)/2)
D = np.sqrt((point_2[0]-point_1[0])**2 + \
(point_2[1]-point_1[1])**2)
# 计算IoU
iou = IoU(box1, box2)
# 计算空白部分占比
lens = D**2 / C**2
diou = iou - lens
return diou
DIoU(box1, box2)Out: 0.1589460263493413
5 CIoU
5.1 CIoU原理
CIoU的全称为Complete IoU，它在DIoU的基础上，还能同时考虑两个矩形的长宽比，也就是形状的相似性，CIoU的计算公式为：
其中α是权重函数，而v用来度量长宽比的相似性：
可以看出，CIoU就是在DIoU的基础上，增加了图像相似性的影响因子，因此可以更好的反映两个框之间的差异性。
我们还需要注意的一点是，在使用CIoU作为Loss的时候，v的梯度同样会参与反向传播的计算，其中：
如果矩形的w和h均小于1，w2+h2的值则会很小，这样很容易出现梯度爆炸的现象，所以在计算v的梯度时，直接把 
当做1来计算。
至此，我们终于完成了最初所定的目标，实现了对两个图像之间的重叠比例、图形距离、形状相似度（矩形长宽比）的综合度量。
注：CIoU论文与DIoU是同一篇。
5.2 CIoU计算
通过计算可得，黄框中心点K、蓝框中心点J的坐标分别为：
K：（3,4） J：（6,6）
此时CIoU的计算公式为：
由于最开始设定的两个矩形的形状相同，计算所得的形状惩罚项为0，因此此时CIoU=DIoU。由此可见，两个形状差别越大，CIoU相较于DIoU则越小。
5.3 CIoU实现
import numpy as np
import math
import IoU
import DIoU
# box:[上, 左, 下, 右]
box1 = [0,0,8,6]
box2 = [2,3,10,9]
def CIoU(box1, box2):
y1,x1,y2,x2 = box1
y3,x3,y4,x4 = box2
iou = IoU(box1, box2)
diou = DIoU(box1, box2)
v = 4 / math.pi**2 * (math.atan((x2-x1)/(y2-y1)) - \
math.atan((x4-x3)/(y4-y3)))**2 + 1e-5
alpha = v / ((1-iou) + v)
ciou = diou - alpha * v
return ciou
CIoU(box1, box2)Out: 0.1589460263493413
参考文献：