Maneuvering periods of 2D quantum walks with the coin operator
硬币算符作用下二维量子漫步的机动周期
摘要
- 经典最近漫步中的recurrence（我理解为回归更合适些，回到原点，循环的意思）思想已进行了深入研究
- 量子漫步中，漫步者以非零概率归到原点，称为量子漫步中的回归
- 若回归，且该硬币态与初始硬币态相同，则称为完全回复
- 到目前，没有发现步数大于两步的二维量子漫步的完全回复
- 借助简单的二维非局域coin，证明了一些四态量子行走可以具有任意偶数周期的完全回复，并且周期性可以通过coin算子中的单个参数的微小变化来控制
介绍
- 量子漫步是经典随机漫步的量子对应物
- Grover算符不论初态是product state还是entangled state ，都显示出一定的局域性
- 晶格的维数、coin算子的选择以及walker的初始coin态决定了中量子行走的重现性
- 推广Grover算符，可以在任意维度上构造一个循环的量子行走
- 确定了偏置量子行走保持循环的参数范围，发现存在真正的偏置量子行走是循环的。步长不等的行走被定义为真正的偏置量子行走
非局域coin的二维量子行走
考虑双粒子系统，Hilbert空间
两个粒子构成的量子系统，波函数
时间演化算符
迁移算符
反应经典条件的非局域算符
note that
2D上四维的Grover 算符是一个Unitary和非Unitary的coin的和，如
该文章研究硬币算符
并与Grover算符进行对比
而前者还可以表示为
完全回复的条件
- 对演化算子进行傅里叶变换，得到U的k，l动量表示。傅里叶图中的时间演化简化为
其中，
- 周期性可理解为量子态的完全复活
- T步之后的波函数表示为
- 公式左右相等，当且仅当，U(k,l)算符的特征值均为1，且U为单位阵
- 存在对应于每个偶数周期的coin算子的角度θ
- 周期性对coin算子中的角度参数θ非常敏感
- 在该量子行走中，如果初始状态是乘积状态，在随后的行走中，只能在x方向的两个可能位置和y方向的三个可能位置找到行走者
- 如果初态是贝尔态，步行者只能在x方向上有三个可能的位置，在y方向上有四个可能的位置
- t时刻，(x,y)位置的硬币态为
对于四维量子态，周期超过两步的量子态不可能完全复活
结论
- 量子行走的完全复兴强调了经典行走和量子行走之间的区别
- 通过简单地改变硬币算符来控制量子行走的复兴
- 硬币的参数θ提供了根据需要操纵行走周期的自由
- 目前没有发现周期大于两步的四态量子行走的完全复活
- 证明了量子行走（由硬币控制）可以产生任何偶数周期的完全复活