【LeetCode 动态规划专项】最长递增子序列的个数（673）

1. 题目

给定一个未排序的整数数组，找到最长递增子序列的个数。

1.1 示例

• 示例 $1$ ：

• 输入： [1, 3, 5, 4, 7]
• 输出： $2$
• 解释： 有两个最长递增子序列，分别是 [1, 3, 4, 7] 和 [1, 3, 5, 7] 。

• 示例 $2$ ：

• 输入： [2, 2, 2, 2, 2]
• 输出： $5$
• 解释： 最长递增子序列的长度是 $1$，并且存在 $5$ 个子序列的长度为 $1$ ，因此输出 $5$ 。

1.2 说明

• 来源： 力扣（LeetCode）
• 链接： https://leetcode-cn.com/problems/number-of-longest-increasing-subsequence

1.3 提示

给定的数组长度不超过 $2000$ 并且结果一定是 $32$ 位有符号整数。

1.4 进阶

2. 解法一（动态规划）

2.1 分析

• 作者： edelweisskoko

2.1.1 定义状态

• dp[i]：到 nums[i] 为止的最长递增子序列长度；
• count[i]：到 nums[i] 为止的最长递增子序列个数。

2.1.2 初始化状态

• dp = [1] * n：代表最长递增子序列的长度至少为 $1$ ；
• count = [1] * n：代表最长递增子序列的个数至少为 $1$ 。

2.1.3 状态转移

对于每一个数 nums[i]，看在它之前的数 nums[j] ($0\le j<i$)是否比当前数 nums[i] 小：

• 如果 nums[i] > nums[j]，那么相当于到 nums[j] 为止的最长递增子序列长度到 nums[i] 增加了 $1$，到 nums[i] 为止的最长递增子序列长度就变成了 dp[i] = dp[j] + 1 ；
• 但是因为满足 nums[i] > nums[j] 的 nums[j] 不止一个，dp[i] 应该取这些 dp[j] + 1 的最大值，并且这些 dp[j] + 1 还会有相等的情况，一旦相等，到 nums[i] 为止的最长递增子序列个数就应该增加了。因此，具体的状态转移如下，在 nums[i] > nums[j] 的大前提下：
  • 如果 dp[j] + 1 > dp[i] ，说明最长递增子序列的长度增加了，dp[i] = dp[j] + 1，长度增加，数量不变 count[i] = count[j] ；
  • 如果 dp[j] + 1 == dp[i]，说明最长递增子序列的长度并没有增加，但是出现了长度一样的情况，数量增加 count[i] += count[j] 。

2.1.4 返回结果

最终，将所有最长递增子序列的个数加在一起即为最终结果。

2.2 解答

from typing import List


class Solution:
    @classmethod
    def find_num_of_lis(cls, nums: List[int]) -> int:
        dp = [1] * len(nums)
        count = [1] * len(nums)
        max_length = 0
        num = 0
        for i in range(len(nums)):
            for j in range(i):
                if nums[i] > nums[j]:
                    if dp[j] + 1 > dp[i]:
                        dp[i] = dp[j] + 1
                        count[i] = count[j]
                    elif dp[j] + 1 == dp[i]:
                        count[i] += count[j]
        max_length = max(dp)
        for k in range(len(nums)):
            if dp[k] == max_length:
                num += count[k]
        return num


def main():
    # nums = [1, 3, 5, 4, 7]
    nums = [2, 2, 2, 2, 2]
    sln = Solution()
    print(sln.find_num_of_lis(nums))  # 5


if __name__ == '__main__':
    main()

• 执行用时： 876 ms , 在所有 Python3 提交中击败了 82.00% 的用户；
• 内存消耗： 15.1 MB , 在所有 Python3 提交中击败了 86.19% 的用户。

实际上，最后用于返回结果的代码可以进一步简化：

from typing import List


class Solution:
    @classmethod
    def find_num_of_lis(cls, nums: List[int]) -> int:
        dp = [1] * len(nums)
        count = [1] * len(nums)
        num = 0
        for i in range(len(nums)):
            for j in range(i):
                if nums[i] > nums[j]:
                    if dp[j] + 1 > dp[i]:
                        dp[i] = dp[j] + 1
                        count[i] = count[j]
                    elif dp[j] + 1 == dp[i]:
                        count[i] += count[j]
        max_length = max(dp)
        return sum(c for i, c in enumerate(count) if dp[i] == max_length)


def main():
    # nums = [1, 3, 5, 4, 7]
    nums = [2, 2, 2, 2, 2]
    sln = Solution()
    print(sln.find_num_of_lis(nums))  # 5


if __name__ == '__main__':
    main()

2.3 复杂度

• 时间复杂度： $O(n^2)$ 。其中 $n$ 是 nums 的长度。
• 空间复杂度： $O(n)$，dp 和 count 所用的空间。

3. 解法二（耐心排序）

• 作者： Dmitry DBabichev

3.1 分析

3.2 解答

3.3 复杂度