【动态规划C语言】求解整数拆分问题 原理+代码

原理

设f(n,k)为将整数n无序拆分成最多不超过k个数之和的方案个数

根据n和k的关系，考虑下面几种情况：

（1）当n=1时，不论k的值为多少（k>0），只有一种拆分，即{1}；

        显然 f(n,k)=1 

（2）当k=1时，不论n的值为多少（n>0），只有一种拆分，即{1,1,....1,1,1}；

        显然 f(n,k)=1 

（3）当n=k时，根据拆分中是否包含n，可以分为两种情况：

      1.拆分中包含n的情况，只有一个，即{n}；
      2.拆分中不包含n的情况，这时拆分中最大的数字也一定比n小，即n的所有（n-1）拆分；
      因此，f(n,n) = 1 + f(n, n - 1)

（4）当n<k时，由于拆分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n)；

（5）当n>k时，根据拆分中是否包含k，可以分为两种情况：

      1.拆分中包含k的情况，即一部分是单个k,另一部分是{x1,x2,x3,...,xi}，即{k,{x1,x2,x3,...,xi}}，其中{x1,x2,x3,...,xi}的和为n-k，可能再次出现k，因此是（n-k）的k拆分，因此这种拆分个数为f(n-k, k)；
      2.拆分中不包含k的情况，则拆分中所有值都比k小，即n的（k-1）拆分，个数为f(n, k - 1)；
 因此，f(n,k) = f(n - k,k) + f(n, k - 1)

图解如下：

 该问题实际上本身是递归，但因为子问题重叠，递归会有大量重复的计算出现，所以设置二维数组dp[n][k]存放f(n,k), 首先初始化dp中所有元素为特殊值0，当dp[n][k]不为0时表明子问题已求解，直接返回结果，这种方法也叫备忘录方法，是动态规划的一种变形。

完整代码如下： 

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXN 500
int dp[MAXN][MAXN]; 
int dpn(int n,int k){
	if(dp[n][k]!=0) return dp[n][k]; 
	if(n==1||k==1) return dp[n][k]=1;
	else if(n<k) return dp[n][k]=dpn(n,n);
	else if(n==k) return dp[n][k]=dpn(n,k-1)+1;
	else return dp[n][k]=dpn(n,k-1)+dpn(n-k,k);
}
int main(){
	int n=6,k=5;
	memset(dp,0,sizeof(dp));  //初始化为0 
	printf("dpn(%d,%d)=%d种\n",n,k,dpn(n,k));
}