二分图（Bipartite Graph）
若能将无向图G=的顶点集V划分成两个不相交的非空子集V1和V2，使得G中任何一条边的两个端点一个属于V1，另一个属于V2，则称G为二部图（二分图，也称为偶图）。
V1和V2称为互补顶点子集，G记成G=<V1, V2, E>。
二分图检测算法（染色+DFS）
V1和V2两个顶点子集中的顶点分别用不同的颜色表示。
假设V1中的顶点为蓝色，V2中的顶点为绿色；
结合二部图的性质可得：任何一个顶点与其相邻结点一定不同色。
故基于DFS对所有顶点进行染色，并检测顶点与其相邻顶点的颜色是否不同来判断该图是不是二部图。
同构图
假设G=(V,E)和G1=(V1，E1)是两个图，如果存在一个双射m：V→V1，使得对所有的x,y∈V均有xy∈E等价于m(x)m(y)∈E1，则称G和G1是同构的。
平面图
没有交叉边的图
BFS（广度优先遍历）
在无向图中使用BFS求单源路径问题，得到的一定是单源最短路径。（得到的永远都是最少边数的路径）
原因：BFS遍历的本质实际上是构造一棵以该节点为根，高度最矮的优先搜索树，高度最矮，因此距离最短。
非递归形式图遍历
BFS：栈（stack）
DFS：队列（queue）
X表示任何一个容器；
X是栈，则BFS；
X是队列，则DFS；
X是随机队列，可用于迷宫生成。
图论建模（应用：FloodFill算法）
1、构建模型
2、状态表达（包含：状态压缩）
桥
对于无向图，如果删除了一条边，整个图联通分量数量变化，则这条边称为桥（Bridge）。
找桥算法（DFS）
判断v-w是否是桥，看通过w，能否从另一条路回到v或者v之前的顶点。
- 对于每一个顶点，记录DFS的顺序；ord[v]表示顶点v在DFS的访问顺序；
- 对于每一个顶点，记录能到达的最小ord，low[v]表示DFS过程中，顶点v能达到的最小ord值。
- 桥就是一条两边顶点所对应的low值不同的边
BFS遍历树和DFS遍历树
寻找桥的算法不能使用BFS完成
割点
对于无向图，如果删除了一个顶点（顶点领边也删除），整个图联通分量数量变化，则这个顶点称为割点（Cut Points/Articulation Points）。
在算法中，如果点v有一个（BFS遍历树中）孩子节点w满足low[w]>=ord[v]，则v是割点+特殊情况：对于根节点，如果有一个以上的（BFS遍历树中）孩子，则根节点是割点。
哈密（哈密尔）顿图
经过图中每个顶点一次且仅一次的回路（通路）称为哈密顿回路。（从一个点出发，沿着边行走，经过每个顶点恰好一次，之后回到出发点，经过每个顶点恰好一次）
数学上：找不到充分必要条件（有充分条件，有必要条件，但没有充要条件）
旅行推销员（Traveling Salesman Problem，TSP）
给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短路径。
- 带权图，完全图
- NP难问题
哈密尔顿回路
起点很重要，不是所有点做起始点都有哈密尔顿回路。
状态压缩
1、二维坐标用一个数字表示；
2、两个有限变量用一个值表示。
（将多个可变状态压缩成一个变量进行存储，二进制存储最省空间并使用位运算进行复原）
记忆化搜索
记忆化搜索（通过特定的状态储存，进行剪枝操作）有时不一定好用，可能会极其浪费空间。
注意
P问题
P问题是具有多项式算法的判定问题。这里的P代表Polynomial。P问题就是可以有一个确定型图灵机在多项式时间内解决的问题。即那些存在O（n），O（nk），O（nlogn）等多项式时间复杂度解法的问题。比如排序问题、最小生成树、单源最短路径。直观的讲，我们将P问题视为可以较快解决的问题。
（多项式算法(polynomial algorithm)亦称有效算法或好算法，是一类计算时间不超过始数据量的一个多项式的算法。
算法满足以下的条件：存在多项式P，使算法的时间复杂性函数f(n)=O(P(n))，这里n为问题的输入规模，换言之，有常量C及多项式P，使|f(n)|≤C|P(n)|。
特点：
1.刻画了算法的内在性质，时间复杂度可以用多项式表达，不会因为面对的具体问题不同，而影响对算法这种性质的刻画。
2.渐近性特点，也就是说，当输入规模n增大时，多项式算法的计算时间要比时间复杂性函数为指数函数情形少得多。
3.在实际上，多项式算法并不肯定奏效，如P(n)=n1000，当1时，n1000>2n，其中，t=1000logn，其中log为以2为底的对数。）
NP问题（非确定性多项式难题）
NP(Nondeterministic Polynomially，非确定性多项式)类问题是指一个复杂问题不能确定是否在多项式时间内找到答案，但是可以在多项式时间内验证答案是否正确。NP类问题数量很大，如完全子图问题、图着色问题、旅行商(TSP)问题等。在P和NP问题中，P的难度最低，NP由于只对验证答案的时间作了限定，从而有可能包含某些无法在多项式时间内找到答案的问题，即NP是比P更困难的问题。
NP完全问题
NP完全问题(NP-C问题, Non-deterministic Polynomial Complete，即多项式复杂程度的非确定性问题。简单的写法是 NP=P？，问题就在这个问号上，到底是NP等于P，还是NP不等于P)，是世界七大数学难题之一。
NPC问题：NP中的某些问题的复杂性与整个类的复杂性相关联.这些问题中任何一个如果存在多项式时间的算法,那么所有NP问题都是多项式时间可解的.这些问题被称为NP-完全问题(NPC问题)。
NP难问题（NP-hard problem）
需要超多项式时间才能求解的问题。
求解哈密尔顿回路（只能暴力求解，遍历所有路径，O(n!)）
欧拉回路（Eulerian Path）
从一个点出发，沿着边行走，经过每个边恰好一次，之后再回到出发点。（经过图（无向图或有向图）中每条边一次且仅一次并且行遍图中每个顶点的回路（通路），称为欧拉回路（欧拉通路），存在欧拉回路的图，称为欧拉图）
- 无向图G有欧拉回路，当且仅当G是连通图且无奇度顶点。
- 无向图G有欧拉通路、但无欧拉回路，当且仅当G是连通图且恰好有两个奇度顶点。
- 有向图D有欧拉回路，当且仅当D是连通的且每个顶点的入度等于出度。
- 有向图D有欧拉通路、但无欧拉回路，当且仅当D是连通的，且除了两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度。（这两个特殊的顶点中，一个顶点（终点）的入度比出度大1，另一个顶点（始点）的入度比出度小1）
欧拉回路是数学家欧拉在研究著名的德国哥尼斯堡(Koenigsberg)七桥问题时发现的。如图1所示，流经哥尼斯堡的普雷格尔河中有两个岛，两个岛与两岸共4处陆地通过7座杨 彼此相联。7桥问题就是如何能从任一处陆地出发，经过且经过每个桥一次后回到原出发点。
寻找欧拉回路的三种算法
回溯法（通过深度优先遍历对边进行删除和回溯，直到所有边均被删除）
Fleury算法（一种贪心算法）
- 回溯法+不走桥的边（桥的判断是不能预处理的） O((V+E)²)
- Fleury算法的优化——Hierholzer算法：O(V+E)，找环——删边——找唯一存在仅有一个的多环的公共点
Hierholzer算法（可递归可非递归）
有欧拉回路存在的性质可以得出：
在无向图中，从任一点出发，先随便找一个环。如果这个环就是原图，已经找到了欧拉回路。否则，剩下的边一定和我们找到的环相连，且所有顶点的度数依然是偶数，即依然存在环，两个相连的环，一定组成一个新环。
从一个可能的起点出发，进行深度优先搜索，但是每次沿着辅助边从某个顶点移动到另外一个顶点的时候，都需要删除这个辅助边。如果没有可移动的路径，则将所在结点加入到栈中，并返回。
//递归版 void dfs(Node node, Deque trace){ while(!node.edges.isEmpty()){ Node next = node.edges.removeLast(); dfs(next, trace); } trace.addLast(node); }//非递归版 List dfs(Node node, Deque trace, Stack stack){ stack.push(node); while(!stack.empty()){ if(node.degree() != 0){ stack.push(node); node = node.edges.removeLast(); }else{ trace.addLast(node); node = stack.pop(); } return trace; }最后得到的栈中保存的就是整个欧拉迹中的顶点。
性质1. 如果图中包含闭欧拉迹，则栈的底部存储的必定是起点。如果图中包含的是开欧拉轨迹，则栈底部存储的是与起点不同的另外一个奇度数端点。
性质2.如果图中包含闭欧拉迹，入栈的倒数第二个顶点一定是路径中的第二个顶点。
