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猜数字大小II
描述
我们正在玩一个猜数游戏，游戏规则如下：
- 我从 1 到 n 之间选择一个数字。
- 你来猜我选了哪个数字。
- 如果你猜到正确的数字，就会 赢得游戏 。
- 如果你猜错了，那么我会告诉你，我选的数字比你的 更大或者更小 ，并且你需要继续猜数。
- 每当你猜了数字 x 并且猜错了的时候，你需要支付金额为 x 的现金。如果你花光了钱，就会 输掉游戏 。
给你一个特定的数字 n ，返回能够 确保你获胜 的最小现金数，不管我选择哪个数字 。
示例 1
输入：n = 10 输出：16 解释：制胜策略如下： - 数字范围是 [1,10] 。你先猜测数字为 7 。 - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $0 。否则，你需要支付 $7 。 - 如果我的数字更大，则下一步需要猜测的数字范围是 [8,10] 。你可以猜测数字为 9 。 - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 。否则，你需要支付 $9 。 - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 10 。你猜测数字为 10 并赢得游戏，总费用为 $7 + $9 = $16 。 - 如果我的数字更小，那么这个数字一定是 8 。你猜测数字为 8 并赢得游戏，总费用为 $7 + $9 = $16 。 - 如果我的数字更小，则下一步需要猜测的数字范围是 [1,6] 。你可以猜测数字为 3 。 - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 。否则，你需要支付 $3 。 - 如果我的数字更大，则下一步需要猜测的数字范围是 [4,6] 。你可以猜测数字为 5 。 - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 + $3 = $10 。否则，你需要支付 $5 。 - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 6 。你猜测数字为 6 并赢得游戏，总费用为 $7 + $3 + $5 = $15 。 - 如果我的数字更小，那么这个数字一定是 4 。你猜测数字为 4 并赢得游戏，总费用为 $7 + $3 + $5 = $15 。 - 如果我的数字更小，则下一步需要猜测的数字范围是 [1,2] 。你可以猜测数字为 1 。 - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 + $3 = $10 。否则，你需要支付 $1 。 - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 2 。你猜测数字为 2 并赢得游戏，总费用为 $7 + $3 + $1 = $11 。 在最糟糕的情况下，你需要支付 $16 。因此，你只需要 $16 就可以确保自己赢得游戏。
示例 2
输入：n = 1 输出：0 解释：只有一个可能的数字，所以你可以直接猜 1 并赢得游戏，无需支付任何费用。
示例 3
输入：n = 2 输出：1 解释：有两个可能的数字 1 和 2 。 - 你可以先猜 1 。 - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $0 。否则，你需要支付 $1 。 - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 2 。你猜测数字为 2 并赢得游戏，总费用为 $1 。 最糟糕的情况下，你需要支付 $1 。
提示
- 1 <= n <= 200
方法：动态规划
我们假设 f[i][j] 表示从 [i,j] 范围中猜数字确保胜利的最小金钱数，最终求的是 f[1][n]。
我们假设第一次猜的数字为 x，并且猜错了，需要支付金额 x，此时有两种情况：
- 猜大了：我们需要在[1,x-1]中再猜，需要支付的金额为f[1][x-1]
- 猜小了：我们需要在[x+1,n]中再猜，需要支付的金额为f[x+1][n]
所以可以得到递推关系式：
为了让f[1][n]取最小值，我们需要对x从1到n进行遍历，取最小值，即
我们在求解 f[i][j] 时会有三种情况：
- 当i=j时，范围[i,j]只包含1个数字，因此f[i][j]=0
- 当i>j时，没有数字可猜，所以f[i][j]=0
- 当i<j时，我们通过递推关系式求解：
class Solution {
public int getMoneyAmount(int n) {
int[][] f = new int[n + 1][n + 1];//f[i][j]表示从范围[i,j]猜数字胜利的最小金钱数
for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
int minMoney = Integer.MAX_VALUE;
for (int k = i; k < j; k++) {
int cost = k + Math.max(f[i][k - 1], f[k + 1][j]);
minMoney = Math.min(cost, minMoney);
}
f[i][j] = minMoney;
}
}
return f[1][n];
}
}