Q: 解说"normalized CSP"和"universal relation"的关系。 A: normalized CSP要求每个二元子序列最多有一个约束（唯一性）。如果我们进一步希望“存在唯一”，那就要形式上引入universal relation进行“占位”。 注：然而universal relation并不是normalized CSP的约束。更进一步的standardized和regular才要求了“存在唯一”约束，即对任意子序列 X X X存在唯一约束 C X C_X CX.
Q: 如何理解包含关系式 C x , z ⊂ C x , y ⋅ C y , z C_{x,z}\subset C_{x,y}\cdot C_{y,z} Cx,z⊂Cx,y⋅Cy,z？其等价于什么样的包含关系式或包含关系式集？ A: 首先， x , y , z x,y,z x,y,z三者构成变量序列的三元子集，即无序，不重复。 所以， ( x , z ) , ( x , y ) (x,z),(x,y) (x,z),(x,y)等等都不一定是子序列。如果 x , y x,y x,y是反序的，就用转置运算得到 C x , y = C y , x T C_{x,y}=C_{y,x}^T Cx,y=Cy,xT，等等。 整个式子要求如果 ( a , c ) ∈ C x , z (a,c)\in C_{x,z} (a,c)∈Cx,z，则存在 b b b使得 ( a , b ) ∈ C x , y , ( b , c ) ∈ C y , z (a,b)\in C_{x,y},(b,c)\in C_{y,z} (a,b)∈Cx,y,(b,c)∈Cy,z. 当然，这里的 x , y , z x,y,z x,y,z记号可以轮换，因为集合 { x , y , z } \{x,y,z\} {
x,y,z}是无序的。所以实际上这一条关系式等价于全排列生成的6条包含关系式。 然而根据对称性，6条关系式又等价于3条。 更进一步的， { x , y , z } \{x,y,z\} {
x,y,z}如果在CSP变量序列中排序恰好是 x , y , z x,y,z x,y,z，那么这3条可以显式写成 C x , z = C x , y ⋅ C y , z , C x , y = C x , z ⋅ C y , z T , C y , z = C x , y T ⋅ C x , z C_{x,z}=C_{x,y}\cdot C_{y,z},C_{x,y}=C_{x,z}\cdot C_{y,z}^T,C_{y,z}=C_{x,y}^T\cdot C_{x,z} Cx,z=Cx,y⋅Cy,z,Cx,y=Cx,z⋅Cy,zT,Cy,z=Cx,yT⋅Cx,z.
Q: m-path consistency为什么没有带来新的东西？ A: 如果一个CSP是 ( m − 1 ) (m-1) (m−1)-path consistent，则： 想构造长度为 m m m的路径。只需先找“倒数第二个点”，使用2-path consistency构造长度为2的路径，再对起点和倒数第二个点使用 ( m − 1 ) (m-1) (m−1)-path consistency构造长度为 m − 1 m-1 m−1的路径。根据归纳法，path consistent蕴涵m-path consistent.
5.6 Directional path consistency
Q: 简述“重新排序”时怎么考察directional path consistency. 与directional arc consistency比较。 A: 在已经指定好变量序列时，对于 x , y , z x,y,z x,y,z是子序列，现如果想要考察一个和原始顺序不同的 ≺ \prec ≺（例如 z ≺ y ≺ x z\prec y\prec x z≺y≺x）下的directional path consistency，则对 ≺ \prec ≺进行讨论，分三种情况处理。 举例 y , z ≺ x y,z\prec x y,z≺x时，只需考察 C y , z ⊂ C x , y T ⋅ C x , z C_{y,z}\subset C_{x,y}^T\cdot C_{x,z} Cy,z⊂Cx,yT⋅Cx,z. 注：可以看到谁在 ⊂ \subset ⊂左边（剪谁）是新的 ≺ \prec ≺决定的，但是谁转置谁不转置是旧的顺序决定的。对于 ≺ \prec ≺，只剪靠前的变量相关的东西（此处是约束），不剪靠后变量相关的，这点和directional arc consistency（剪靠前变量定义域）一致。 注：课本中，对“重新排序”的处理相比directional arc consistency有所不同——在那里是重新构造了CSP P ≺ \mathcal P_\prec P≺. 当然你想在这两种做法间切换并没有理论上的障碍。
Q: k-consistent和global consistent, node consistent, arc consistent有何联系？ A: global consistent等价于存在一个instantiation是k-consistent，其中k是变量总数。 但global consistent不等价于整个CSP是k-consistent. 比如 a > 0 , b > 0 , a ∈ { 0 } , b ∈ { 0 } a>0,b>0,a\in\{0\},b\in\{0\} a>0,b>0,a∈{
0},b∈{
0}显然不存在1-consistent的instantiation，从而vacuously 2-consistent. 注：可以发现 k − k- k−consistent和 l − l- l−consistent之间互不蕴涵（ k ≠ l k\ne l k=l）。直观来看，好像 k k k越大性质越强，但实际上，由于“空虚的真”现象，这也不一定！ node consistent就是1-consistent.（注：只考虑1元谓词） 已知node consistent，则arc consistent等价于2-consistent.
Q: 说出符号 C ˉ X \bar C_X CˉX良定义的关键点。 C ˉ X \bar C_X CˉX和 C X C_X CX联系如何？ A: C ˉ X \bar C_X CˉX是用连续多个join定义的。所以要求运算join可交换。 C ˉ X \bar C_X CˉX比 C X C_X CX显然更强。
Q: 用 k = 2 k=2 k=2为例解释 k − k- k−CONSISTENCY规则 C X C X ∩ ∏ X ( C ˉ X , y ) \frac{C_X}{C_X\cap \prod_X(\bar C_{X,y})} CX∩∏X(CˉX,y)CX. 问：k-consistency剪的是几元约束？ A: 假设node consistent. 则此时， C ˉ X , y \bar C_{X,y} CˉX,y就是二元约束，其投影用来剪 D X D_X DX（剪一元约束）。 可以看到和arc consistent剪法相同。 当 k = 1 k=1 k=1剪1元，否则剪 k − 1 k-1 k−1元。
Q: 为什么k-CONSISTENCY的closed under rule和consistent不等价？它相比arc consistent, node consistent, path consistent等有何本质区别？ A: 其实根源是 C ˉ X , y \bar C_{X,y} CˉX,y运算。因为 C ˉ X , y \bar C_{X,y} CˉX,y太强了，包含进了所有子序列的约束。 提示：回忆：arc consistent等价于closed under the corresponding rule. 而node consistent时，arc consistent等价于2-consistent. 可以看到关键在于node consistent. 在 k = 2 k=2 k=2，且没有node consistent时， C ˉ X , y \bar C_{X,y} CˉX,y太强了，直接包含进了各个一元约束，其投影自然也保留了这些约束。 于是2-consistent相比arc consistent的规则，因为有那些一元约束所以“额外多剪了”一些定义域（或者说“必须更小心才能不被剪”）。这正是不等价的来由：即使某CSP已经2-consistent了，但因为它没有注意有关一元约束的事情，所以仍然被剪了。 对于node consistent，因为没有“真子序列”了，自然就不存在此问题。所以1-consistent仍然是和closed under the rule等价。