【自适应盲均衡2】多径衰落信道的复数常模算法（CMA）的理论推导与MATLAB仿真

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关于均衡的基础知识，首先可参考本人博客
LMMSE、Godard、CMA常模、Sato等算法在信道均衡中的应用理论与MATLAB仿真

理论推导

代价函数

$$J=E\left[e_{Godard}^p(k)\right]=E\left[{\left({\left|y(k)\right|}^q-r_q\right)}^p\right]=E\left[{\left({\left|{\mathbf{w}}^H(k)\mathbf{x}(k)\right|}^q-r_q\right)}^p\right]$$

其中，$r_q=\frac{E\left[{|\mathbf{x}(k)|}^{2q}\right]}{E\left[{|\mathbf{x}(k)|}^q\right]}$，p和q是正整数。

求梯度

用瞬时误差代替平均误差，求瞬时误差对于${\mathbf{w}}^{\ast }$的梯度，也就是代价函数变化率最大的方向，注意是${\mathbf{w}}^{\ast }$而不是$\mathbf{w}$
$$\begin{array}{l}{\nabla }_{{\mathbf{w}}^{\ast }}J=p{e}_{Godard}^{p-1}(k)\frac{\partial ({|y(k)|}^q)}{\partial {\mathbf{w}}^{\ast }(k)}\\ =\frac{1}{2}pq{e}_{Godard}^{p-1}(k){\left|y(k)\right|}^{q-2}\frac{\partial ({|y(k)|}^2)}{\partial {\mathbf{w}}^{\ast }(k)}\\ =\frac{1}{2}pq{e}_{Godard}^{p-1}(k){\left|y(k)\right|}^{q-2}\frac{\partial ({\mathbf{w}}^H(k)\mathbf{x}(k){\mathbf{x}}^H(k)\mathbf{w}(k))}{\partial {\mathbf{w}}^{\ast }(k)}\\ =\frac{1}{2}pq{e}_{Godard}^{p-1}(k){\left|y(k)\right|}^{q-2}\mathbf{x}(k){\mathbf{x}}^H(k)\mathbf{w}(k)\\ =\frac{1}{2}pq{e}_{Godard}^{p-1}(k){\left|y(k)\right|}^{q-2}{y}^{\ast }(k)\mathbf{x}(k)\end{array}$$

其中，涉及相关的矩阵运算的公式为
$$\begin{array}{l}y(k)={\mathbf{w}}^H(k)\mathbf{x}(k)\\ y^{\ast }(k)={\mathbf{w}}^T(k){\mathbf{x}}^{\ast }(k)={\mathbf{x}}^H(k)\mathbf{w}(k)\\ {\nabla }_{{\mathbf{z}}^{\ast }}({\mathbf{Z}}^H\mathbf{R}\mathbf{Z})=\mathbf{R}\mathbf{Z}\end{array}$$

得到更新方程为
$$\mathbf{w}(k+1)=\mathbf{w}(k)-\frac{1}{2}\mu pq{\left({\left|y(k)\right|}^q-r_q\right)}^{p-1}{\left|y(k)\right|}^{q-2}{y}^{\ast }(k)\mathbf{x}(k)$$

当p=q=2时，即为常模（CMA）算法，更新公式可以写成

$$\mathbf{w}(k+1)=\mathbf{w}(k)-2\mu e_{CMA}^{\ast }(k)\mathbf{x}(k)$$

其中，$e_{CMA}(k)=y(k)\left({\left|y(k)\right|}^2-r_q\right)$

MATLAB仿真

代码

进行20次蒙特卡洛仿真取平均值，用剩余码间干扰来衡量盲均衡性能曲线，采用CPU并行计算，加快计算速度。

clc;clear;close all;
len = 5000;
SNR = 30;
 
h = [0.26, 0.93, 0.26].'; % 信道
h = h/norm(h);

N = 11;M = 4; iniphase = 0;

mu = 0.01; R=1; times=10;
ISI_CMA=zeros(times,len); yout=zeros(times,len);
parfor nt=1:times
	x = randi([0,M-1],len,1);
    s = pskmod(x,M,iniphase);
    r = conv(s,h,'same');
    rn = awgn(r,SNR,'measured'); 
    w = zeros(N,len); w(ceil(N/2),N) = 1;
    y=zeros(1,len); err=zeros(1,len); ISI = zeros(1,len);
    
    for n = N:len
        yk=rn(n:-1:n-N+1);
        y(n)=w(:,n)'*yk;
        err(n) = y(n)*(abs(y(n)).^2-R);
        w(:,n+1) = w(:,n)-mu*conj(err(n))*yk;
        sita = conv(w(:,n+1),h);
        ISI(n-N+1) = sum(abs(sita).^2)/max(abs(sita))^2-1;
    end
    ISI_CMA(nt,:)=ISI;
    yout(nt,:)=y;
end
tx = 1:len-N+1;
maker_idx = 1:300:length(tx);
figure;plot(tx,mean(10*log10(ISI_CMA(:,tx)),1),'o-b','MarkerIndices',maker_idx,'LineWidth',1.2);
xlabel('Iterations','FontSize',14);ylabel('ISI (dB)','FontSize',14);
legend('CMA','FontSize',14);
set(gca,'FontSize',16,'Fontname', 'Times New Roman');

结果

当$\mu =0.01$时，ISI曲线如下

星座图如下

当$\mu =0.05$时，ISI曲线如下

星座图如下

可以看到，随着迭代步长$\mu$的增大，收敛速度增大的同时稳态误差有所减小。