Gumbel-Softmax完全解析

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写在前面

本文对大部分人来说可能仅仅起到科普的作用，因为Gumbel-Max仅在部分领域会用到，例如GAN、VAE等。笔者是在研究EMNLP上的一篇论文时，看到其中有用Gumbel-Softmax公式解决对一个概率分布进行采样无法求导的问题，故想到对Gumbel-Softmax做一个总结，由此写下本文

为什么我们需要Gumbel-Softmax ?

假设现在我们有一个离散随机变量 $Z$ 的分布

p_1 = p(Z=1)=\pi_1\\ p_2 = p(Z=2) = \pi_2\\ p_3 = p(Z=3) = \pi_3\\ ...\\ p_x = p(Z=x) = \pi_x\\

其中， $\sum_i \pi_i=1$ 。我们想根据 $p_1,p_2,...,p_x$ 的概率采样得到一系列离散 $z$ 的值。但是这么做有一个问题，我们采样出来的 $z$ 只有值，没有生成 $z$ 的式子。例如我们要求 $Z$ 的期望，那么就有公式

\mathbb{E}(Z) = p_1 + 2p_2 + \cdots +xp_x

$Z$ 对 $p_1,p_2,...,p_x$ 的导数都很清楚。但是现在我们的需求是采样一些具体的 $z$ 值，采样这个操作没有任何公式，因此也就无法求导。于是一个很自然的想法就产生了，我们能不能给一个以 $p_1,p_2,...,p_z$ 为参数的公式，让这个公式返回的结果是 $z$ 采样的结果呢？

Gumbel-Softmax

一般来说 $\pi_i$ 是通过神经网络预测对于类别 $i$ 的概率，这在分类问题中非常常见，假设我们将一个样本送入模型，最后输出的概率分布为 $[0.2, 0.4,0.1,0.2,0.1]$ ，表明这是一个5分类问题，其中概率最大的是第2类，到这一步，我们直接通过argmax就能获得结果了，但现在我们不是预测问题，而是一个采样问题。对于模型来说，直接取出概率最大的就可以了，但对我们来说，每个类别都是有一定概率的，我们想根据这个概率来进行采样，而不是直接简单无脑的输出概率最大的值

最常见的采样 $\mathbf{z}$ 的onehot公式为

\mathbf{z} = \text{onehot}(\max \{i\mid \pi_1 + \pi_2+\cdots +\pi_{i-1} \leq u\})\tag{1}

其中 $i=1,2,..,x$ 是类别的下标，随机变量 $u$ 服从均匀分布 $U(0,1)$

上面这个过程实际上是很巧妙的，我们将概率分布从前往后不断加起来，当加到 $\pi_i$ 时超过了某个随机值 $0\leq u \leq 1$ ，那么这一次随机采样过程， $z$ 就被随机采样为第 $i$ 类，最后通过一个onehot变换

但是上述公式存在一个致命的问题：max函数是不可导的

Gumbel-Max Trick

Gumbel-Max技巧就是解决max函数不可导问题的，我们可以用argmax替换max，即

\mathbf{z} = \text{onehot}(\mathop{\text{argmax}}\limits_{i} \{g_i + \log \pi_i\})\tag{2}

其中， $g_i=-\log(-\log(u_i)), u_i \sim U(0,1)$ ，这一项名为Gumbel噪声，或者叫Gumbel分布，目的是使得 $\mathbf{z}$ 的返回结果不固定

可以看到式 $(2)$ 的整个过程中，不可导的部分只有argmax，实际上我们可以用可导的softmax函数，在参数 $\tau$ 的控制下逼近argmax，最终 $z_i$ 的公式为

z_i = \frac{\exp(\frac{g_i + \log \pi_i}{\tau})}{\sum_{j}^x\exp(\frac{g_j + \log \pi_j}{\tau})}\tag{3}

其中， $\tau$ 越小 $(\tau \to 0)$ ，整个softmax越光滑逼近argmax，并且 $\mathbf{z} = \{z_i\mid i=1,2,...,x\}$ 也越接近onehot向量； $\tau$ 越大 $(\tau \to \infty)$ ， $\mathbf{z}$ 向量越接近于均匀分布

总结

整个过程相当于我们把不可导的取样过程，从 $\mathbf{z}$ 本身转移到了求 $\mathbf{z}$ 的公式中的一项 $g_i$ 中，而 $g_i$ 本身不依赖 $p_1,..,p_x$ ，所以 $z$ 对 $p_1,...,p_x$ 就可以到了，而且我们得到的 $\mathbf{z}$ 仍然是离散概率分布的采样。这种采样过程转嫁的技巧有一个专有名词，叫重参数化技巧（Reparameterization Trick）