逆元的线性递推求解方法

我们已经学过了利用扩展欧几里得和费马小定理求解乘法逆元的方法，但是对于这道题，这两种方法都失效，那么我们需要找到一种线性的算法来求解，时间复杂度才合格，如果对于逆元概念存在问题可以看一下第一个链接

• 可以这样考虑，设
  $$t=\frac{p}{i}$$$$k=p\%i$$
  则有
  $$p=i\times t+k$$
  也就是
  $$i\times t+k\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
  移项
  $$i\times t\equiv -k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
  设i’为i对于模p的逆元，k’为k对于模p的逆元，两侧分别乘上i’k’，得
  $$i\times t\times i^{\prime }\times k^{\prime }\equiv -k\times i^{\prime }\times k^{\prime }(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
  由于tt’ mod p为1，kk’ mod p为1，所以
  $$t\times k^{\prime }\equiv -i^{\prime }(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
  如果用数组inv表示逆元(inverse element)，那么上式等价于
  $$t\times inv[k]\equiv -inv[i](\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
  将k和t代入，可得
  $$\frac{p}{i}\times inv[p\%i]\equiv -inv[i](\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
  也就是
  $$inv[i]=-\frac{p}{i}\times inv[p\%i]\%p$$
  负数化正，得到
  $$inv[i]=(p-\frac{p}{i}\times inv[p\%i]\%p)\%p$$
  这就是逆元的递推式，只要得到了第一个元素的逆元，就可以线性的推出第n个数的逆元
  程序如下

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 3e7;
ll inv[MAXN];
int main(){
    
    
    int n, p;
    cin >> n >> p;
    inv[1] = 1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
    
    
        inv[i] = p - (p / i * inv[p % i] % p) % p;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        cout << inv[i] << "\n";
    }
    return 0;
}