CodeForces - 559C Gerald and Giant Chess（组合数，递推求阶乘逆元）

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题意：

给出一个 $h$行 $w$列的棋盘（ $1\le h,w\le10^5$），其中有 $n\;(1\le n\le 2000)$个点 $(x_i,y_i)$不可走，每次只能往右或者往下走，问从左上角 $(1,1)$到右下角 $(h,w)$有多少条不同的路径。（结果对 $1000000007$取余）

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分析：

由于 $n$只有 $2000$，所以想到求出从左上到右下的所有路径数，然后减去从左上到右下经过这 $n$个点的路径数。

①求 $(x_1,y_1)$到 $(x_2,y_2)$的路径数（ $x_1\le x_2,\;y_1\le y_2$）

从 $(x_1,y_1)$到 $(x_2,y_2)$一共要走 $(x_2-x_1)+(y_2-y_1)$步，要在其中选择 $(x_2-x_1)$步是往下走的，那么一共有 $\displaystyle\ C_{(x_2-x_1)+(y_2-y_1)}^{(x_2-x_1)}$种选法，即路径数

由于组合数
$C_b^a=\frac{b!}{a!(b-a)!}$

因此需要预先计算 $1$ ~ $2*10^5$的 阶乘 及其 阶乘的逆元

②递推求阶乘逆元

逆元可以看作原数的倒数，那么对于 $n$的逆元则有：
$\frac{1}{n!}=\frac{1}{(n+1)!}\times(n+1)$

于是我们可以用 费马小定理+快速幂 或者 拓展欧几里得 求得最后一个数阶乘的逆元 $finv[N]$，然后利用 $finv[i]=finv[i+1]\times(i+1)\mod p$从后往前推得所有数阶乘的逆元。

③从 $(1,1)$开始经过 $(x_i,y_i)$到达 $(h,w)$的路径数

预处理得到以下变量：

• $d[i][0]$：从 $(1,1)$到 $(x_i,y_i)$的路径数
• $d[i][1]$：从 $(x_i,y_i)$到 $(h,w)$的路径数

所以 从 $(1,1)$开始经过 $(x_i,y_i)$到达 $(h,w)$的路径数即为 $d[i][0]*d[i][1]$

但是为了防止重复计算，应将点从左上到右下排序，从左上开始处理，计算完一个点后，应让 在其右下方的所有点的 $d[j][0]$ 减去 $d[i][0]*(x_i,y_i)到(x_j,y_j)的路径数$（即 减去从 $(1,1)$开始经过 $(x_i,y_i)$到达 $(x_j,y_j)$的路径数）

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以下代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn=2e3+50;
const LL N=2e5;
const LL MOD=1000000007;
LL f[N+5],finv[N+5];
LL qpow(LL a,LL b,LL c)
{
    LL res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1LL)
            res=(res*a)%c;
        a=(a*a)%c;
        b>>=1LL;
    }
    return res;
}
void init()
{
    f[0]=1;
    for(LL i=1;i<=N;i++)
        f[i]=(f[i-1]*i)%MOD;    //计算阶乘
    finv[N]=qpow(f[N],MOD-2,MOD);
    for(LL i=N-1;i>=0;i--)
        finv[i]=(finv[i+1]*(i+1))%MOD; //递推计算阶乘逆元
}
LL cal(LL x1,LL y1,LL x2,LL y2)   //计算(x1,y1)到(x2,y2)有多少条路径
{
    LL a=abs(x1-x2),b=abs(x1-x2)+abs(y1-y2);
    return (((f[b]*finv[a])%MOD)*finv[b-a])%MOD;
}
LL h,w;
LL d[maxn][2],ans;
int n;
struct point
{
    int x;
    int y;
}p[maxn];
bool cmp(point &a,point &b)
{
    if(a.x!=b.x)
        return a.x<b.x;
    else
        return a.y<b.y;
}
int main()
{
    init();
    scanf("%lld %lld %d",&h,&w,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld %lld",&p[i].x,&p[i].y);
    sort(p+1,p+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        d[i][0]=cal(1,1,p[i].x,p[i].y);
        d[i][1]=cal(p[i].x,p[i].y,h,w);
    }
    ans=cal(1,1,h,w);   //总路径数
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans-=(d[i][0]*d[i][1])%MOD;
        if(ans<0)
            ans+=MOD;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            if(p[j].y>=p[i].y)
                d[j][0]-=(d[i][0]*cal(p[i].x,p[i].y,p[j].x,p[j].y))%MOD;
            if(d[j][0]<0)
                d[j][0]+=MOD;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}