三种求解逆元的方法【扩欧，费马小定理，线性筛】

逆元

为了解决像这一种问题\(\frac ab \mod p\)的问题，常常是无法正常的取模的。
所以这个时候就用到了逆元。
什么意思？
设\(d\)为\(b\)在\(\mod p\)意义下的逆元，那么就可以是除法变成加法。
说的再明白一点就是\(\frac ab \mod p = (a \times d) \mod p\)，而在乘法运算中可以随便膜，那么就膜去吧。

逆元的计算方法

以下的代码都是\(a\)关于膜\(p\)的逆元。

方法A-扩展欧拉定理\(exgcd\)

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (!b) { x = 1; y = 0; return a; }
    ll d = exgcd(b, a % b, x, y), z = x; x = y; y = z - y * a / b; 
    return d; 
}
ll inv(ll a, ll p) {
    ll x, y, d = exgcd(a, b, x, y);
    return (x % p + p) % p;  
}

方法B-费马小定理

适用于模数为素数

void power(ll x, ll y, ll MOD) {
    ll res = 1; x %= MOD; 
    for (; y; y >>= 1) { if (y & 1) res = (res * x) % MOD; x = (x * x) % MOD; }
    return res; 
}
ll inv(ll a, ll p) { return power(a, p - 2, p); }

方法C-线性公式

inv[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; i ++) inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;