中国剩余定理——数学知识（c++）

经典例题

AcWing 204. 表达整数的奇怪方式
给定 2n 个整数a1,a2,…,an和m1,m2,…,mn,求一个最小的非负整数 x，满足∀i∈[1,n],x≡mi(mod ai)。

输入格式
第1 行包含整数 n。

第 2…n+1行：每 i+1 行包含两个整数ai和mi,数之间用空格隔开。

输出格式
输出最小非负整数 x，如果 x 不存在，则输出 −1。
如果存在 x，则数据保证 x 一定在64位整数范围内。

数据范围
1≤ai≤2³¹−1,
0≤mi<ai
1≤n≤25
输入样例：

2
8 7
11 9

输出样例：

31

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;


//把n个方程逐渐每次消去两个，化为一个，从而得到唯一的同余方程，进而得解。
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)//扩展欧几里得求ax+by=gcd(a,b)的解
{
    
    
    if (!b)
    {
    
    
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }

    LL d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}


int main()
{
    
    
    int n;
    cin >> n;

    LL x = 0, m1, a1;//第一个方程的系数 备份数据
    cin >> m1 >> a1;//先输入第一个方程
    for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )//合并接下来的n-1个方程
    {
    
    
        LL m2, a2;
        cin >> m2 >> a2;
        LL k1, k2;
        LL d = exgcd(m1, -m2, k1, k2);
        if ((a2 - a1) % d)//此时无解
        {
    
    
            x = -1;
            break;
        }

        k1 *= (a2 - a1) / d;//特解
        k1 = (k1 % (m2/d) + m2/d) % (m2/d);//让特解k01取到最小正整数解

        x = k1 * m1 + a1;

        LL m = abs(m1 / d * m2);
        a1 = k1 * m1 + a1;
        m1 = m;
    }

    if (x != -1) x = (x % m1 + m1) % m1;

    cout << x << endl;

    return 0;
}

作者：yxc

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    
    
    if(!b)
    {
    
    
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    LL d = exgcd(b, a%b, y, x);
    y -= a/b*x;
    return d;
}

int main()
{
    
    
    int n;
    cin >> n;

    LL x = 0, m1, a1;
    cin >> a1>>m1;
    for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
    {
    
    
        LL a2,m2;
        cin >> a2 >> m2;
        LL k1, k2;
        LL d = exgcd(a1,-a2, k1, k2);
        if ((m2-m1) % d)
        {
    
    
            x = -1;
            break;
        }

        k1 *= (m2 - m1) / d;
        k1 = (k1 % (a2/d) + a2/d) % (a2/d);

        x = k1 * a1 +m1;

        LL m = abs(a1 / d * a2);
        m1 = k1 * a1 + m1;
        a1 = m;
    }

    if (x != -1) x = (x % a1 + a1) % a1;

    cout << x << endl;

    return 0;
}