卷积的尺度特性

▌卷积运算 ▌

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1.卷积定义

卷积运算是数学中重要的运算，它广泛被用于信号处理、系统分析中。它与相关运算的形式很接近。对于两个连续时间信号$x\left(t\right),y\left(t\right)$，它们之间的卷积运算定义为：$$x\left(t\right)\ast y\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }x\left(\tau \right)y\left(t-\tau \right)d\tau$$

对于离散序列，也可以定义对应的卷积和运算：

$$x\left[n\right]\ast y\left[n\right]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x\left[m\right]y\left[n-m\right]$$

卷积（卷积和）运算满足交换律、结合律、分配率。

2.卷积图解示意

下图显示了两个信号进行卷积获得结果结果的过程。可以选择其中一个进行反褶、平移 然后和另外一个信号进行相乘、积分或者最后的结果：

▌尺度变化 ▌

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信号的尺度变化是指对于信号的自变量乘以一个常量，比如信号$f\left(t\right)$，选择一个常数$a$，对应信号$f\left(at\right)$和原来信号相比就是发生了尺度变化。

当$a>1$时，对应的信号波形收缩；当$a<1$时对应的波形拉伸。下图显示了$\sin c\left(t\right)$信号随着自变量除以$2n-1$的因子变化而对应的波形所发生的的变化情况。

▌卷积尺度变化 ▌

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通常情况下，两个信号进行卷积，如果对于其中任何一个进行尺度变化，所得到的结果与原来的结果之间并没有太多的关系。

1.尺度性质

但是当两个信号进行了相同的尺度变化，那么所得到的结果就与原来两个信号的卷积结果之间存在着相同的尺度变化。比如：

$$y\left(t\right)=x\left(t\right)\ast h\left(t\right)$$
那么：$$y\left(\frac{t}{2}\right)=\frac{1}{2}x\left(\frac{t}{2}\right)\ast h\left(\frac{t}{2}\right)$$

2.证明

这个性质可以通过变量替换得到证明：

3.举例

对于任意信号$f\left(t\right)$，都有：
$$f\left(t\right)=f\left(t\right)\ast \delta \left(t\right)$$

那么：$$f\left(\frac{t}{2}\right)\ast \delta \left(\frac{t}{2}\right)=f\left(\frac{t}{2}\right)\ast \left[2\delta \left(t\right)\right]=2f\left(\frac{t}{2}\right)$$