冰山上的一角——n维欧几里得空间

由n维欧几里得空间窥探数学概念 $Space$ 的整个体系：

Overview of types of abstract spaces. An arrow from space A to space B implies that space A is also a kind of space B. That means, for instance, that a normed vector space is also a metric space.
 
Source：Space (mathematics)-WiKi

本人水平有限，暂时接触到的只有这么多：

欧几里得空间的数学结构关系图
来源：线代启示录——欧几里得空间的数学结构

度量空间可以表示为 $(X,d)$ 二元组，$X$ 是一个集合，d是一个定义在笛卡尔积（直积，$Cartesianproduct$）下的数值函数，又叫做度量函数：$d:X\times X\mapsto R$ . 这个度量函数满足几个性质，在此不再罗列。

度量空间的完备性被柯西序列的收敛所定义，当然这里的柯西序列不再仅仅是实数域 $R$ 上的 { x n } \{x_n\} { xn​} 了，而变成了抽象集合 $X$ 上元素构成的序列 { x n } \{x_n\} { xn​} 。

拿 $X=(0,1]$ ，序列 { 1 n } \{\frac{1}{n}\} { n1​} 为例，不难看出该序列是一个柯西列，在 $n\to \infty$ 时，$\frac{1}{n}$ 是趋于 $0$ 的，但不可能取到 $0$ ，因为 $X$ 中没有定义 $0$ 这个元素，也就没有了极限。所以完备性就由柯西列收敛来给出，目的就是为了对极限具有封闭性。

当然，当 $X$ 还未经抽象化，即 $X$ 为实数域 $R$ ，且度量函数由普通的绝对值度量：$d:d(x,y)=|x-y|$ 这种情况下，实数域 $R$ 的完备性不仅仅有柯西构造方式，还有戴德金构造方式，这部分内容可以在数学分析教材中找到答案。单就柯西列本身，在不同的研究领域中就有不同的解读，这一点可以参考WiKipedia——Cauchy Sequence。

有了度量空间与度量空间完备性的概念，可以自然引出赋范向量空间这一概念。当向量空间引入赋范运算（norm）后，这一赋范向量空间会自然诱导出”度量函数“，故赋范向量空间也是（或者叫诱导、induce）一个度量空间。

如果说赋范运算给予向量空间”长度“，可以说内积运算给予向量空间”角度“。当然，向量空间中的”长度“和”角度“密不可分，内积运算最初是从欧几里得空间几何直观中蕴含的”范数“这个角度引出的。然而，当给定了向量空间上的内积运算后（即给定一个内积空间），发现定义一种内积（即满足内积性质的一种实现 ”implement“ ）可以唯一”诱导“出一种范数：

$$||v||=<v,v{>}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{<v,v>}$$

这说明了内积运算虽由范数概念引出，单从其所属的“层级”来看，是一种“囊括”了范数的运算，这就是为什么我们可以看到上面两图中的箭头是由$innerproductspace$指向$normedvectorspace$的。

对于赋范向量空间 $(V,||\cdot ||)$ ，若 $V$ 中的全体柯西序列均在此空间的度量 $d(u,v)$ 下收敛，那么这个赋范向量空间就有了完备性，成为了完备赋范向量空间，称之为巴拿赫空间 $Banachspace$。

对于内积空间 $(V,<\cdot ,\cdot >)$ ，若 $V$ 中的全体柯西序列均在此空间的度量 $d(u,v)$ 下收敛，那么这个内积空间就有了完备性，成为了完备内积向量空间，称之为希尔伯特空间 $Hilbertspace$。

又根据一种内积运算可以诱导一种范数，故希尔伯特空间是可以 imply 巴拿赫空间的。

我们可以证明：$R^n$ 是有限维的希尔伯特空间。注意，这里的 $R^n$ 不是没有规定内积和范数的n维实向量空间，而是规定了内积和范数的n维欧几里得空间

由上述的这些内容，可以看出我们日常普遍接触到的n维欧几里得空间（例如二维和三维的带有”长度“概念的坐标系空间）仅仅是有限维向量空间加上一些很 $well-defined$ 的运算性质的综合体，不要将一些很基本的运算 ”算长度“ ”算角度“ 等等看的理所当然。对每种结构剥丝抽茧的抽象，都会有很深刻的内蕴在其下。切忌管中窥豹，而错失理解抽象概念的契机。

补充：前述有误，赋范向量空间定义的范数可以不由内积运算诱导，故赋范向量空间的层级其实比内积空间更高，赋范向量空间包含着内积空间。事实上，在 $L^p$ 范数当中，仅有 $p=2$ 时才有符合内积定义的几个性质的内积运算，详细的请看问题：Is every normed vector space, an inner product space