题目描述：
在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？
示例 1:
输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物
提示：
0 < grid.length <= 200
0 < grid[0].length <= 200
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/li-wu-de-zui-da-jie-zhi-lcof
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解题思路：
最基本的dp问题，只需要根据题目找出转移方程即可。
因为题目要求只能向右移动一格或向下移动一个，所以我们不难得出转移方程。
dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+grid[i][j],dp[i][j-1]+grid[i][j]) i>0&&j>0
又因为当i=0时，所处第一行，他们的dp值只能是由向右移动得来，所以：dp[i][j] = dp[i][j-1]+grid[i][j] i==0&&j>0
当j=0时，所处第一列，他们的dp值只能是由向下移动得来，所以：dp[i][j]=dp[i-1][j] + grid[i][j] i>0&&j==0
起始点为左上角，即i == 0&&j==0时，所以dp[i][j]=grid[i][j]
所以我们得到以下详细的转移方程：
①起始点：i == 0 && j== 0 dp[0][0]=grid[0][0]
②第一行：i==0&&j>0 dp[i][j] = dp[i][j-1]+grid[i][j] 只能右移到达
③第一列：i>0&&j==0 dp[i][j]=dp[i-1][j] + grid[i][j] 只能下移到达
④一般情况：i>0&&j>0 dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+grid[i][j],dp[i][j-1]+grid[i][j]) 右移、下移均可到达
注:该问题也可以使用DFS来解决
代码：
public class jianzhi_Offer_47 {
public int maxValue(int[][] grid){
if (grid.length == 0){
return 0;
}
int[][] dp = new int[grid.length][grid[0].length];
dp[0][0] = grid[0][0];
for(int i = 0; i < grid.length; i++){
for (int j = 0; j < grid[i].length; j++){
if(i == 0 && j > 0){
dp[i][j] = dp[i][j-1] + grid[i][j];
}
else if(j == 0 && i > 0){
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + grid[i][j];
}
else if(i > 0 && j > 0) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j] + grid[i][j], dp[i][j - 1] + grid[i][j]);
}
}
}
return dp[grid.length - 1][grid[0].length - 1];
}
public static void main(String[] args) {
jianzhi_Offer_47 obj = new jianzhi_Offer_47();
int[][] grid = new int[][]{
{
1,2,3,4,5},{
1,3,5,2,3},{
3,1,2,5,4},{
4,3,3,5,4}
};
System.out.println(obj.maxValue(grid));
}
}