【刷题库】二分查找算法思想及模板

前言

假设有一个管道长为1000米，有一个未知的地方破了口，想要找出这个口，我们该怎么寻找？

在我们实际运用当中，很多地方都可以看到顺序排放的序列，比如按照价格递增的顺序排放，按照物体的大小进行依次排放，还有就是像上面的管道检查的问题等等…

如果需要查找某一个符合条件的值，依次查找就会花费很多不必要的查找，这时候使用二分就可以节约很大的成本。

面对上面1000米的管道，我们就可以采取二分机制，每次排除竟可能多的管道进行下一步查找。

二分查找

为了更好的理解模板的查找过程，我们先举个简单的例子

在一个有序列表中，查找出54这个元素

第一轮

l = 0
r = 13
mid = (l + r) / 2 = 6

此时 mid 指向的数小于54，所以54在 mid 与 r 之间，可以排除l到 mid 的所有数据。

第二轮

l = mid + 1 = 7
r = 13（不变）
mid = (l + r) / 2 = 10

此时 mid 指向的数大于54，所以54在 l 与 mid 之间，可以排除 mid 到 r 的所有数据。

第三轮

l =  7（不变）
r = mid = 10
mid = (l + r) / 2 = 8

此时 mid 指向的数即是54，查找结束。

时间复杂度：O(logN)

空间复杂度：O(1)

这里的复杂度其实是平均复杂度，算法中的log级别的时间复杂度都是使用了分而治之的思想，这个底数是由分治的复杂度所决定的，也就是说，使用了二分机制查找，那它的底数就是2。

模板1

参照某位大佬的模板，我对次做了一些解释，方便学习

当我们将区间[l, r]划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时，其更新操作是r = mid或者l = mid + 1;，计算mid时不需要加1。

代码模板

function search_1(l, r)
{
    
    
    while (l < r)
    {
    
    
        var mid = l + r >> 1;
        if(/*mid找到*/) return mid;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return false;
}

1. 为什么是 l < r 作为结束条件呢？

   解答：因为根据上面的图，如果还没有找到目标的话，左右指针就会重叠，一旦重叠就要退出了。

2. 为什么使用l + r >> 1，还有其他方法吗？

   解答：在JavaScript中，可以通过 parseInt() 和 Math.floor() 方法将小数向下取整，而 >> 是采用位移的方式，它看起来像个箭头，表示向右移一位，即除于2再取整，这时候就和 Math.floor((l + r) / 2) 效果相同。

模板2

当我们将区间[l, r]划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时，其更新操作是r = mid - 1或者l = mid;，此时为了防止死循环，计算mid时需要加1。

function search_2(l, r)
{
    
    
    while (l < r)
    {
    
    
        var mid = l + r + 1 >> 1;
        if(/*mid找到*/) return mid;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return false;
}

运用

还是上面的数组，使用模板1查找54

var array = [1, 2, 4, 9, 11, 15, 20, 25, 54, 90, 100, 110, 111, 242];

function search_1(nums, target) {
    
    
    if (target == null || nums.length == 0) return false;

    var l = 0,
        r = nums.length - 1;
    while (l < r) {
    
    
        var mid = (l + r) >> 1;
        if(target == nums[mid]) return mid;
        if (target < nums[mid]) {
    
    
            r = mid;
        } else {
    
    
            l = mid + 1;
        }
    }
    return false;
}

function search_2(nums, target) {
    
    
    if (target == null || nums.length == 0) return false;

    var l = 0,
        r = nums.length - 1;
    while (l < r) {
    
    
        var mid = (l + r + 1) >> 1;
        if(target == nums[mid]) return mid;
        if(target > nums[mid]) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return false;
}

总结

二分查找要求数据是有序的。

1. 中间位置与目标比较，相等则找到。否则，将原表拆分成两个表
2. 当 l > r 时，则未找到。