【YbtOJ高效进阶 递推-3】数的划分

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$YbtOJ高效进阶递推-3$

题目描述

将整数 $n$分成 $k$ 份，且每份不能为空，任意两个方案不相同（不考虑顺序）。

例如：$n=7,k=3$，下面三种分法被认为是相同的：

$1,1,5;1,5,1;1,1,5.$

问有多少种不同的分法。

样例输入

7 3

样例输出

4

思路

设$f_{i,j}$表示总数为i，分割成j份的总方案数
那我们考虑转移，若当前方案有1，那可以用$f_{i-1,j-1}$来转移
再来看当前方案没有1，那我们考虑一下，可以用$f_{i-j,j}$来转移，就让那时的情况，给每一位都+1就可以得到新的方案
因此得到转移方程
$$f_i=f_{i-1,j-1}+f_{i-j,j}$$
有特例
1.当$i=j$时，$f_{i,j}=1$
2.当$i<j$时，$f_{i,j}=0$

代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

int n, k, f[1005][15];

int main() {
    
    
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= k; ++j) {
    
    
            if (i < j)
                f[i][j] = 0;
            else if (i == j)
                f[i][j] = 1;
            else
                f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j];
        }
    printf("%d", f[n][k]);
}