PIPIOJ 1439: PIPI的位运算问题Ⅱ 位运算 异或和

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思路：如果我们能够快速计算出$[0,n]$内所有数的二进制第$i$位(假设从低位开始，下标从1开始)上$1$的总和，那么依据前缀和的性质就可以在$O(1)$时间内得到$[L,R]$内所有数的二进制第$i$位上$1$的总和，依据异或的性质我们知道，如果总和是奇数，那么这一位为$1$否则为$0$。那么如何快速计算总和呢？我们写下前八个数的二进制表示：$000、001、010、011、100、101、110、111$。不难发现每一位的出现都是有规律的：第$i$位的循环节长度为$2^i$，循环节前$2^{i-1}$个数是$0$，后$2^{i-1}$个数是$1$，那么从$0$到$x-1$的二进制第$i$位上$1$的总和就等于：$x/2^i\ast 2^{i-1}+max(0,x\%2^i-2^{i-1})$。那么就可以在$O(logR)$内算出结果。

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

using ll=long long;

ll L,R;

int main()
{
    
    
    scanf("%lld%lld",&L,&R);
    ll ans=0,i=1,i2=i<<1;
    ++R;
    while(R>=i)
    {
    
    
        ll vr=R/i2*i+max(0ll,R%i2-i);
        ll vl=L/i2*i+max(0ll,L%i2-i);
        if((vr-vl)&1)
            ans|=i;
        i=i2;
        i2<<=1;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}