游戏中的算法与数学

１．给儿子买了一套数字华容道的棋盘，结果毫不意外地成了我打发时间的工具，玩儿多了后就有了一些心得，结合网上的资料，总结如下图所示。

这是一个NPC问题，目前还没有通用解法。更深刻的数学原理涉及到群论了，群论在大学数学里面有着完全不一样的画风，没有深入学习过。

以三阶为例，可以验证，每个复原步骤均满足上述条件：

写了一个深搜程序，计算出来四种方案，步骤都非常多，可见如果想得到最优补数需要用到广搜，深搜一头走到黑，得到的一般不是最优结果,如果限制路径堆栈的深度，可以得到接近最优的搜索路径:

限定步骤前后，之所以产生如此大的差异，是由于深度搜索过程中，首次出现的某个可解状态并非以最优次序出现，导致即便后续最优序列出现的时候，由于状态重复而被剪枝

2.为什么正多面体的种类是有限的？你可以这样想：

0.三维空间中的多面体至少要有四个面，所以不可能出现正三面体，正二面体，甚至是１面体

1.要形成某种顶点或者“尖顶",在多面体的任何顶点至少要有三个多边形的面必须相交.
2.由于多面体是规则的，因此在任意顶点的清醒与在任意其它顶点情形相同，因此，我们只需要考虑在一个典型的顶点上发生的情

3.为了要形成一个尖顶，顶点上所有面角之和必须小于360度，反证法，如果不满足，则这些角加起来将会形成一个平面。

4.因为所有的面都是全等的，所以一个顶点上所有角的和必须被均分

5.设正多边形内角和为e, 则

e = (n-2)*180, n为边

正多边形每个内角均相等，所以

y = e/n = ((n-2)/n) *180

　此函数图像是:

可以看到，正六边形的每个内角是120度，已经不满足要求，而函数图形是增函数，所以：

能够组成正多面体的正多边形只能是边数小于６的正多边形．

正三角形

正四边形

正五边形

三种，五种柏拉图正多面体恰好是由这三种面组成的。

总结一下，由于要构成一个顶点需要的面至少是三个，这是构成顶点面的下界，所以每个多边形的内角不能大于等于120度，限制了构造正多面体面的边数．并且小于一定边数的正多边形也是有限的，所以内角也不能无限小，最小只能到60度，所以构成顶点的面及不能太小（下界3)，又不能太大，不能超过５个，这是上界，这么多的限制，当然体数有限了．

3.三角和函数的几何证明以及它与矩阵变换以及复数旋转的联系

cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

旋转矩阵:

cos(a) -sin(a)

sin(a) cos(a)

可以用上面的矩阵左乘一个向量去验证.

引用对角线法则，变换矩阵在空间中的伸展长度是1，另外需要注意的是，对角线法则只适用于1,2,3阶矩阵，１阶矩阵即标量常数。

还可以从另一个角度理解，这也是在看了3blue1brown的视频受启发想到的，大学学习线性变换中的基都是按照列向量来定义的，但线性代数中的大部分定理都同时适用于行向量和列向量，隐隐觉得这里面应该有一些对称的东西没有挖掘出来，看了视频讲duality，翻译过来恰好是对偶性，这个解释就不从列向量的角度来理解，而从行向量的角度理解这个变换.

首先，旋转矩阵的行向量[cos(beta), -sin(beta)],乍看一下好像没有什么意义，但是当我们从原点Ａ做一个向量，使它的角度恰好等于beta,也就是上图中的yita（没找到办法绘制一个和给定角度一模一样的角度的办法，差不多就行了，能说明问题).也就是angle(VOB)，原点是O.

这里，如果把[cos(beta), -sin(beta)]看做是正交向量(1,0)和(0,1)，也就是坐标轴，做线性变换将维成１维线而得的话，那么

cos(beta)*cos(a) - sin(beta)sin(a)就可以理解为向量OC在直线上的投影，也就是OW,那么他就应该等于根据上面几何证明的旋转后的横坐标值OI，直观上，I点和Ｗ点应该在以原点为圆心的某个圆上，虽然上面绘制的角度有误差，可是看到实际上确实如此，

I和W几乎和同一个圆相切（实际上就是在圆上，代数证明的手艺早就还给老师了，还是看图说话吧，毕竟年纪大了，很多理论的东西有直观的解释最好).

所以，行向量的几何意义可以解释为，基向量在行向量方向上的投影长度，也就是基向量坍缩到某个一维方向后，各基的投影长度，如果知道一个点的坐标，则变换后的坐标就是坐标值在每个方向的投影长度的贡献之和，用公式表达就是内积了。

利用向量内积的观点，可以解释x+y+z=0的图形为什么是个平面，因为所有x,y,z是满足所有与(1,1,1)点积为0的点组成的集合

从几何直观上看就是个平面了. :)

红色，绿色和蓝色分别为x,y,z轴

4.加减运算和数乘运算我们一般称之为线性运算，线性运算是整个空间理论的基础，为了计算的方便，可以把向量放到坐标系中来研究，因为向量可以平移，并且平移后向量保持不变，我们把所有向量的起点都平移到坐标原点，这样

就可以用终点坐标来表示向量，所以，平面上所有向量的终点就铺满了整个平面，平面就可以看成所有二维向量的集合，所以研究三维空间，四维空间乃至高维空间，都是向量的集合，三维空间就是所有三维向量的集合，四维空间就是所有四维向量的集合，n维空间就是所有n维向量的集合。n维向量又是什么？2维向量就是有两个坐标的数列，三维向量有三个坐标的数列，n维向量自然就有n个坐标了。这是巧合吗？当然不是的，因为我们就是用基的向量个数来表示向量维度的，而基的个数又需要有对应的坐标来描述，所以我们定义，一个n个实数排列在一起组成的有序串，就称为一个实数域上的n维向量。记做:

$\vec{x}=[x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n]$

横着写称为行向量，竖着写称为列向量，　本质上行向量和列向量是一样的。

关于线性变换，体会动态的变换过程，比线性代数中的讲解直观多了。

（１，　３）　＋　（－３，　２） = (-2, 5)

上图中有两个坐标世界，A世界的坐标轴即是普通直角坐标轴，单位坐标矩阵是:

世界Ｂ的单位坐标轴，在世界Ａ中的坐标矩阵是:

如果世界Ａ中有一点Ｄ，在世界Ａ中的坐标是

，那如果我想得到Ｄ点用Ｂ世界的坐标轴表示的坐标，该如何表示呢?

可以这样想，Ｂ世界的坐标是怎么来的？可以看作是Ａ世界的两个直角坐标轴经过旋转和缩放得到的，

也就是OB向量是由x轴单位向量旋转得到, OC由y轴单位向量旋转得到．

在坐标系内，旋转对应一个线性变换矩阵（其实这个矩阵就是Ｂ世界在Ａ世界中表示的坐标，也就是上面第二个矩阵），一个线性变换的衡等式，在变换前后应该保持不表，所以，变换前后，D点在Ａ世界中的坐标表示和在Ｂ世界中的坐标表示应该是相同的，所以只要算出Ｄ点变换前在Ａ世界的坐标，这个坐标也就是用新向量表示的坐标了．

所以，距离结论，我们差着一个逆变换，这也就是求矩阵的逆矩阵:

X =

所以　　　＝　InverseMatrix() X = X =

上面的式子实际上是在说，在坐标系下的向量，与在E单位矩阵坐标系下的向量)，实际上是同一个向量.

线性变换的一个重要性质在于，变换后的向量仍然是相同的线性组合，不过使用的是新的基向量，比如这里变换前的 (1,1)向量和变换后的(-2,5)向量在各自坐标系中的坐标都是(1,1),但却换了一组基.

对于常见的多元线性方程组，可以书写为矩阵和向量乘积的形式。

其简单而直观的几何意义就是，矩阵A表示了一种线性变换，现在空间中得到一个向量，使其在执行完线性变换后，和重合。

以上例子，就是逆矩阵简单的几何意义

5.二阶行列式等于向量包围平面面积的几何证明

C点的坐标(a,b), b点的坐标是(c,d)

二阶行列式

[c, a]

[d, b]

则为bc - ad.

几何证明方式,中间平行四边形的面积是：

(a+c) * (b+d) - a*d - a*d - 1/2(a*b) - 1/2(a*b) - 1/2(c*d) - 1/2(c*d)

= bc-ad

QED.

６．向量内积为何是一条向量投影长度和另一条向量长度乘积的几何解释.,

6.矩阵行秩等于列秩的直观解释，两个平行四边形张开的维度时时刻刻都保持相同.

说白了，有几个方向（坐标轴，方程个数）就需要有一个变量来描述各个方向的标量值.

代数证明:

假设m*n阶矩阵A的列秩为c，行秩为r。则A包含c个m维线性独立的列向量，它们张成A的列空间。将这些列向量放到一起组成一个mxc阶矩阵B

则A的每一个列向量

均可以唯一的表示成b的列向量的线性组合.

所以,

考虑矩阵A的第i行，利用以行为计算单元的矩阵乘法规则，可得，

矩阵A的每一行可以表示成D的每一行的线性组合，因为A的行空间维数不大于D的行数，因此，行秩r小于等于c，即A的行空间维数不大于列空间维数。

同理,可得到转置后的r>=c.

所以只能r=c.

7.当要解决的问题符合以下三条，可以考虑运用机器学习：

要解决的问题中存在某种模式
这种模式不容易直接定义
有足够的数据可以帮助我们找出该模式

8.自然常数(欧拉数)的产生函数

8:在书上看到这样一段话特别有感悟，数学可能是最接近哲学的一门学科了.

原话(爱因斯坦语): ＂在这里产生了一个让各个时期的科学家都困惑的谜题，数学作为独立与经验的人类思维的产物，为何与物理现实中的客体如此吻合?没有经验依据，而只靠纯粹思维，人类就能够发现实际事务的性质吗？．．．．．．

　　只要数学的命题是涉及实在的，他就是不可靠的;只要它是可靠的，他就不涉及实在．＂

或则和简单论述为，数学法则只要与现实有关，都是不确定的，若是确定的，都于现实无关。

　　大家的思维就是不一样，比如通常认为的根号2为无理数，如果想在自然界中证明，通过度量正方形的对角线和边之比来证明论断的正确性，是根本不可能的，自然界中的对象没有理想的精确形式，所以这个结论不能从直接的度量中绝对精确的的出来，也不能对任何一个具体的现实正方形有绝对精确的意义.

　量的精确化超过一定限度，总要产生质的变化，比如，气压如果精确到超过一个分子的撞击力大小时，是没有意义的，当电量描述超过个一个电子所带电荷的程度时，是没有意义的，所以，对于数学中的理论证明，要通过纯粹的逻辑推导和形式化的思辨才能达到.

这就是为什么数学结论可以脱离实验的证明，仍然会被人们所信服.

我们学习知识有一个回顾和反思的过程，很遗憾毕业十年后才感受到数学的美感，用心去体会而不是为了应付考试，如果你喜欢统一喜欢对称，喜欢数学繁杂表象背后都有简单而统一的运行机制，在毕业多年后，再回头重温一下，这样便于我对问题的理解，也便于产生新的思考．

9:下面是一个非常著名的函数图形，魏尔斯特拉斯函数，它的特征是处处连续，但却处处不可导，翻译成人话就是你无法用笔画出它其中的哪怕任何片段，因为人的手臂是有质量的，有质量的物体动起来是有惯性的，惯性携带了趋势信息，而这个函数图像不带有任何趋势信息，也就是你看不出任何微观上的走势，就是这么任性，现实中或许只有股票走势曲线能和它媲美了，是不是很神奇？如果牛顿和莱布尼兹两位神仙知道有这类函数的存在，不知道还能不能发明微积分 :).　幸好，在数学创造中，自由创造会领先于形式化和逻辑基础．

matlab源码：

%x = linspace(-2,2);
x = -2:.000004:2;
%a = 1/4;
%b = 51;
a = 1/2;
b = 3;
y = zeros(length(x),5);
[row, col] = size(y);
Y = zeros(size(x));

for i = 1:length(x)
    for j = 1:col
    y(i,j) = (a^(j-1))*cos((b^(j-1))*pi*x(i));
    end
    Y(i) = sum(y(i,:));
end
plot(x,Y)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function weierstrass(a,b,kmax)
% WEIERSTRASS  Plots Weierstrass's non-differentiable function for
%    the interval [0,1].
%
%    w(x) = sum_{k=0}^{\infty} a^k \cos(2\pi b^k x)
%    with 0 < a < 1 and a*b >= 1
%
%    Funktion arguments:
%        a, b : Coefficients (default: a=0.5, b=3)
%           k : upper limit of k for the  computed sum (default:
%               k=20)

% Author  : Andreas Klimke, Universität Stuttgart
% Version : 1.0
% Date    : August 12, 2002
	
if nargin~=3
	if nargin<2
		a = 0.5;
		b = 3;
	end
	kmax = 20;
end
	
c1(1:kmax+1) = a.^(0:kmax);
c2(1:kmax+1) = 2*pi*b.^(0:kmax);
	
x = linspace(-2,2,1000000);

plot(x,w(x,c1,c2),'b-','LineWidth',2);
title('Weierstrass''s non-differentiable function','Fontsize',18);
xlabel(['a=' num2str(a), ', b=' num2str(b)],'Fontsize',16);
ylabel('w(x) = sum_{k=0}^\infty [a^k cos(2 \pi b^k x)]','Fontsize', ...
			 16);
set(gca,'FontSize',14);
grid on;

	
%--------------------------------
function y = w(x,c1,c2)

index = 1;
y = zeros(length(x),1);
for k = x
	y(index) = sum(c1 .* cos(c2*k));
	index = index + 1;
end

9:究竟反比函数是不是双曲线？图形化证明一下：

从图中可以看到，函数f1是反比函数，函数eq1是关于x轴对称的双曲线函数，离心力为根号2，渐近线是y=x以及y=-x.

根据geogebra计算后绘制的结果，无论是f1逆时针旋转45度，还是eq1顺时针旋转45度，都和目的图形完全重合，所以看起来反比函数确实是如假包换的双曲线。

我们也可以代数证明一下这个结论，利用坐标线性变换的概念.

假设坐标轴顺时针旋转45度角后，新的坐标系坐标是(x^, y^);

则在原坐标系中的坐标位置应该等于旋转矩阵

两个列向量的有限次线性变换得到，具体一点就是如下算是

* 　　=

所以　xy = 1

推导出

坐标转换关系式:

简化后实际上是

明显是双曲线的方程。

所以可以得出，反比函数是如假包换的双曲线，并且更一般的，

和　描述的是同样形状的双曲线，只是观察他们的坐标系的角度不同。

扩展到三维场景，z=xy本质上也是马鞍面和

具有同样的形状，只是旋转了45度而已.

$z=xy$

图形是一个标准马鞍面.等高线是一组组的双曲线，反比函数的双曲线是其中一组。

也可以用二次型的概念来解释这个问题，二次型是二次齐次多项式

$z=xy$

符合二次型的定义，对应的对称方阵为:

$\begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}$

对应的转换矩阵和二次型矩阵是:

所以变换矩阵为:

$m=\begin{bmatrix} -0.70711 & 0.70711\\ 0.70711& 0.70711 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$

$\vec{x}=m\vec{x'}=\begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}\vec{x'}$

所以:

$\\x = -\frac{\sqrt{2}}{2}x' + \frac{\sqrt{2}}{2}y' \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2}x' + \frac{\sqrt{2}}{2}y'$

所以

$xy=1=>y'^2-x'^2 = 1$

所以，二次型的方式也可以得到正确的结论．

扩展到复数域,复变函数　

$z=c^2$ 　c为复变量.

的图像在实数域是由两张一样的马鞍面张开的。

设:

$\\z=a+bi\\ c=m+ni$

所以

$z=c^2=>a+bi=(m+ni)^2=>a+bi=m^2-n^2+2mni$

进而得到：

$\\ a=m^2-n^2\\ b=2mn$

根据上面的的分析结果，

$b=2mn$ 和 $a=m^2-n^2$

是同样的双曲线，只是相差 $\pi/4$ 角度

matlab中可以将四维变元在同一张图中显示出来，方法是xoy平面表示自变量所在的复平面，以z轴表示复变函数的实部，颜色表示复变函数的虚部，如下面第一张图。

10:一个非常有意思的函数图形，y=x^2*sin(1/x),它处处可导，但是导函数在x=0处却不连续，也就是存在可导，但是导函数却不连续的函数，而且这个函数比较奇怪的是，在微观上和宏观上完全不像，微观上渐近线是二次函数y=正负x^2，宏观上的渐近线是y=正负x.

进一步分析，函数

$f(x)=x^2sin(\frac{1}{x})$

仅仅在x=0点没有定义，所以，可以抛弃原来的定义，重新定义 $f(x)$ 如下:

$\\ f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2sin(\frac{1}{x}) \quad x\neq 0\\ 0 \quad \quad \quad \quad x=0 \end{matrix}\right.$

不过由于

$\left\{\begin{matrix} \lim_{x->{0^+}}x^2sin(\frac{1}{x})=0\\ \lim_{x->0^-}x^2sin(\frac{1}{x})=0 \end{matrix}\right. ==> \lim_{x->0}x^2sin(\frac{1}{x})=0$

所以尽管f(0)没有定义，但是将定义转换为如上的函数后，f扩展为连续函数.

再 $x\neq 0$ 处，f(x)的导数是:

$f'(x)=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}=sin(\frac{1}{x})(2x)+x^2(-\frac{cos(\frac{1}{x})}{x^2})=2xsin(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x})$

在x=0处的导数，没有法则可以帮忙，只能根据定义来计算:

$f'(0)=\lim_{h->0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h->0}\frac{h^2sin(\frac{1}{h})-0}{h}=\lim_{h->0}hsin(\frac{1}{h})=0$

$f'(0)$ 存在并且为０，意味着f实际上再x=0处可导．

所以

$\\ f'(x)=\left\{\begin{matrix} 2xsin(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x}) \quad x \neq 0\\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad x=0 \end{matrix}\right.$

有意思的是:

$\\ lim_{x->0^+}(2xsin(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x}) ) \\ lim_{x->0^-}(2xsin(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x}) ) \\$

并不存在，所以

$\\ lim_{x->0}(2xsin(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x}) )$

不存在，

所以 $\\ f'(x)$ 不连续！

所以对于f(x)来说，它是一个处处可导的函数，但是其导函数在x=0处有间断点，并不连续，可惜的是，根据实数的性质，是无法在图像上观察到这个景象的．

微观之下，存在一个新的世界，包含新的维度。

11:圆锥曲线的生成过程:

　圆:

　椭圆

抛物线:

双曲线

12：以抛物线为例，证明圆锥曲线产生方式的正确性.

题设：圆锥方程为:

母线方程：

平行于母线的截面方程:

将截面方程带入圆锥方程:

联立，得到参数方程

轨迹是抛物线轨迹.

上面的参数方程还是太复杂，斜着看不方便，我们把立体坐标系绕着x轴旋转45度角,x轴不变,zoy轴逆时针旋转45度角, 可以得到旋转矩阵为：

变换的整体效果相当于Ｘ轴箭头朝向外的位置看，沿着Ｘ轴顺时针将坐标轴旋转45度角得到的。

不难发现上述矩阵列向量两两正交，且行列式为１，这说明这个矩阵可以作为新视角的一组标准正交基.

则坐标变换关系是：

展开后得:

带入上面的参数方程

得到

所以，坐标变换后的参数方程消去了常数项，变得更加正规简洁.

个方程更明显的看出了图形是抛物线。

从垂直x轴的角度看，结论不要太完美,曲线沿着渐近线到zoy平面的投影正切:)，印证了常量9为什么会消失（因为坐标变换后正好以其母线作为新的坐标轴).

同理，其他圆锥曲线，比如椭圆，双曲线都可以证明由平面截圆锥得到。

13:复数旋转意义的理解

转化为矩阵形式:

$\begin{bmatrix} c & -d\\ d & c \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ac-db\\ ad+bc \end{bmatrix}$

或者
$\begin{bmatrix} a & -b\\ b & a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c\\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ac-db\\ ad+bc \end{bmatrix}$

可以从线性变换的角度理解复数乘法．

复数描述了一种代数结构，也可以采用同构的东西来取代它,要深刻理解这个原理还是要看群论了。

$a+bi\simeq\begin{bmatrix} a & -b\\ b & a \end{bmatrix}=r\begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta)\\ sin(\theta) & cos(\theta) \end{bmatrix}=r \ exp(\theta \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} )=re^{i\theta}$

14:关于欧式空间向量内积的定义的相互推导：

　欧式空间向量内积有两种定义，一种是几何定义，另一种是代数定义。

　几何定义：

theta代表两个向量之间的角度。

这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这裡，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。

第一步，在向量b上取单位向量, 设u的坐标为：

则

其中为各坐标轴上的单位向量。

原式继续化简，

其中根据对偶关系，很明显的两个单位向量的内积为，

所以，继续化简

根据相似性，b和u是同方向上的向量，根据简单的三角形相似关系，得到：

上面的证明，是利用几何直觉上的对偶性，对偶性在这里的重要提现是，向量a在u方向上的投影，等于向量a在每个坐标轴上的投影向量（也即是坐标向量分别在u方向上的投影和). 如下图，根据矢量法则，总向量可以看成每个坐标轴方向上的向量分量首尾相接，得到，直观上，总向量对另一个向量的投影长度等于每个轴心分量在这个向量上的投影长度之和。

很重要的思想，坐标系数本身就表示投影！

向量AG和向量AH分别可以理解为b和e.他们互做垂线，得到的AI=AJ。

证毕.

15:矩阵乘法的推导：

设:

　A,B是nxn的矩阵,求出y和x的关系。

所以：

同理

联立上面两组等式则:

下面的清楚一些:

所以:

QED!

16:空间中，是否存在这样的线性变换，使变换后的第一个坐标轴坐标增加一个固定的数字，而其它坐标不变。

　解，以二维为例，满足要求的变换如下：

k为题设中x轴坐标增加的固定的数字。

变换形式：

也就是，等价于：

上式的几何意义很明显，要求得到对应的变换矩阵等价于

得到矩阵

使其对任何向量，变换后，都为向量

显然，这是不成立的，分两种情况：

1.矩阵可逆，也就是慢秩，这种情况下，平面上所有的映射都是单射且满射，所以不可能出现不同的向量在变换后变成同一个向量。

2.矩阵不可逆，也就是非满秩，这个时候能够满足将所有vector map到x轴方向的矩阵只有

这种类型，也无法保证只对x轴贡献k的增长。

所以，无法得到一个线性变换矩阵

满足条件要求。

17:历史选择了深度神经网络作为解决图像、声音识别、围棋等复杂AI问题的方法并非偶然，神经网络在理论上有万能逼近定理（universal approximation）的保证：

只要神经元的数量足够，激活函数满足某些数学性质，至少包含一个隐含层的前馈型神经网络可以逼近闭区间上任意连续函数到任意指定精度。即用神经网络可以模拟出任意复杂的函数。我们要识别的图像、语音数据可以看做是一个向量或者矩阵，识别算法则是这些数据到类别值的一个映射函数。

下面来看深度学习在各个典型领域的进展。人脸检测算法在使用深度卷积神经之后进展迅猛，下面是FDDB数据集上各种算法的ROC曲线（这条曲线越高，算法越准确）：

18:用罗尔定理以几何方法推导拉格朗日中值定理．

罗尔定理:假设函数 $f$ 在闭区间 $［a,b]$ $[a,b]$ 内连续，在开区间 $[a,b]$ 内可导，如果 $f(a)=f(b)$ ,那么在开区间 $(a,b)$ 内至少存在一点 $c$ ,使得 $f'(c)=0$

中值定理:假设函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 内连续，再开区间 $[a,b]$ 内可导，那么在开区间 $(a,b)$ 内至少存在一点c，使得:

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

形式上，中值定理比罗尔定理少了一个前提条件，因而适用范围更广，洛尔定理是中值定理的特殊情况．现在由洛尔定理推导拉格朗日中值定理

$y=f(x)$ ，

并且

$[a,f(a)],[b,f(b)] \quad a<b$

是图像上面的点

首先，将坐标原点平移，平移到 $[a,f(a)]$ 点:

则新坐标系中的点 $(x', y')$ 和原坐标点之间的关系是:

$\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} a\\ f(a) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x-a\\ y-f(a) \end{bmatrix}$

所以

$\\ x'=x-a\\ y'=y-f(a)$

再使用坐标旋转公式:

$\\ \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos(\theta ) & -sin(\theta)\\ sin(\theta) & cos(\theta) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix}$

$\theta$ 是新坐标系 $x$ 轴与原来坐标系 $x$ 轴的夹角,以 $(a,f(a)), (b,f(b))$ 连线方向为新的 $x$ 轴

所以

$\\ \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos(\theta ) & -sin(\theta)\\ sin(\theta) & cos(\theta) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x''\\ y'' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x-a\\ y-f(a) \end{bmatrix}$

所以:

$\\ \begin{bmatrix} cos(\theta )x'' -sin(\theta)y''\\ sin(\theta)x''+ cos(\theta) y''\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x-a\\ y-f(a) \end{bmatrix}$

所以

$\\ \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} cos(\theta )x'' -sin(\theta)y''+a\\ sin(\theta)x''+ cos(\theta) y''+f(a)\end{bmatrix}$

所以将

$(x,y)$

代入

$y=f(x)$

得到:

$\\ sin(\theta)x''+ cos(\theta) y''+f(a)=f(cos(\theta )x'' -sin(\theta)y''+a)$

对 $x''$ 求导

$sin(\theta)+cos(\theta)\frac{dy''}{dx''}= f'(cos(\theta)x''-sin(\theta)y''+a)(cos(\theta)-sin(\theta)\frac{dy''}{dx''})$

坐标转换(平移加旋转)后，满足罗尔定理成立的条件，根据罗尔定理，存在

$\frac{dy''}{dx''}=0$

所以

$sin(\theta)= f'(cos(\theta)x''-sin(\theta)y''+a)cos(\theta)$

也就是:

$\\ f'(c)=f'(cos(\theta)x''-sin(\theta)y''+a)=\frac{sin(\theta)}{cos(\theta)}=tan(\theta)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\ c=cos(\theta)x''-sin(\theta)y''+a$

由罗尔定理推导中值定理得证,其中 $c$ 就是满足导数条件的点在两个坐标系之间的坐标变换关系。

19:　反函数的导数公式及其证明

$\\y=f(x) \\ y=f^-1(x)$

互为反函数

$y=f^{-1}(x)=>x=f(y)=>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}$

20:

若干个复数的模永远小于或者等于这些数的模的和，这等价于下面的折线

$ABCDEFG$ 的封闭直线段 $AG$ 短于该折线，并且当且仅当所有线段在一条直线上且沿着同一方向延伸时相等。

$\left \| \vec{d} \right \|=\left \| \vec{u} +\vec{v} +\vec{w} +\vec{a} +\vec{b} +\vec{c} \right \|<\left \| \vec{u} \right \|+\left \| \vec{v} \right \|+\left \| \vec{w} \right \|+\left \| \vec{a} \right \|+\left \| \vec{b} \right \|+\left \| \vec{c} \right \|$

凡是可以利用数形结合的思想，对现在的我都有价值！

21:人类第一次寻找到复数计算的意义:

对于三次方程，求根：

$x^3=15x+4$

1.利用三次求根公式

$x=\sqrt[3]{2+11\sqrt{-1}}+\sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}}$

2.观察法，知道 $x=4$ 是方程的解．

3.运算得知：

$\\ \sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}}=2-\sqrt{-1}\\ \sqrt[3]{2+11\sqrt{-1}}=2+\sqrt{-1} \\$

因为:

$(2-\sqrt{-1})^3=(3-4i)(2-i)=6-8i-3i-4=2-11i$

$(2+\sqrt{-1})^3=(3+4i)(2+i)=6+8i+3i-4=2+11i$

先不考虑 $\sqrt{-1}$ 的意义，直接让 $\sqrt{-1}$ 参与运算，竟然的到了正确的结论,负数的平方根这块坚冰开始出现裂痕！

这是意大利数学家最早发现的，他开始让 $\sqrt{-1}$ 进入数学家的视野，这也是关于复数意义的最早记录，现在不使用虚数，物理学和数学简直寸步难行！

22:

$i^i=(cos(\pi/2)+isin(\pi/2))^i=(e^{i\pi/2})^i =e^{-\pi/2}\approx 0.20787967635076\cdots$

$r^i=e^{ln(r)^i}=e^{iln(r)}=cos(ln(r))+isin(ln(r)) \quad r\in R$

23:若 $a_0\quad a_1 \quad \cdots \quad a_n$ 满足

$a_0+\frac{a_1}{2}+\cdots+\frac{a_n}{n+1}=0$

的实数，证明：方程

$a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0$

在(0,1)内至少有一个实根．

证明，构造方程：

$f(x)=a_0x+\frac{a_1}{2}x^2+\frac{a_2}{3}x^3+\cdots+\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$

则

$f(0)=f(1)=0$

由于函数在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 上可导，满足应用罗尔定理的条件，所以必定在 $(0,1)$ 上存在点 $c$ ，使得：

$f'(c)=a_0+a_1c+a_2c^2+\cdots+a_nc^n=0$

得证！

24:维达公式:

将式子

$(x-a)(x-b)(x-c)\cdots(x-k)(x-l)$

展开成:

$f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$

比较x的同次幂系数，我们就得到:

$a_1=-(a+b+c+\cdots+k+l)$

$a_2=ab+ac+\cdots+kl$

$a_3=-(abc+abd+\cdots)$

$\cdots \cdots$

$a_n=\pm abc\cdots kl$

例如

$\\ (x-1)(x-2)(x-3)=x^3-(1+2+3)x^2+(2*3+1*3+1*2)x-1*2*3=x^3-6x^2+11x-6\\$

$\\ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=x^4-(1+2+3+4)x^3+(2*3+1*3+1*2+1*4+2*4+3*4)x^2-(1*2*3+2*3*4+1*2*4+1*3*4)x+1*2*3*4=x^4-10x^3+35x^2-50x+24\\$

这其中蕴含了一个有趣的规律，系数分别经历三次和四次变号实际上，如果

$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\cdots(x-k)(x-l)$

展开后经历了n次变号，那么，在增加一项 $(x-m)$ 后，

$v(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\cdots(x-k)(x-l)(x-m)$

将经历n+1次变号．

变号的次数等于正根的个数，这个规律被成为笛卡尔符号定则,原话是实系数多项式方程正根的个数等于系数的变号次数减去一个非负偶数。．

很容易证明当

$x-m$

$m$ 是正的情况下，乘积后的多项式变号加1，那如果m是负的情况下呢？

m为负数，相当于乘以单次多项式

$(x+r)$

r是正值。

那么可以写为:

$f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$

则:

$v(x)=f(x)(x+r)=(x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_n)(x+r)$

$v(x)$ 展开后

$\\v(x)=b_0x^{n+1}+b_1x^n+b_2x^{n-1}+b_3x^{n-2}+\cdots+b_nx+b_{n+1}=\\x^{n+1}+(a_1+r*a_0)x^n+(a_2+ra_1)x^{n-1}+(a_3+ra_2)x^{n-2}+\cdots+(a_n+ra_{n-1}x)+ma_n$

所以：

$\\b_0=a_0 \\b_1=a_1+ra_0\\ b_2=a_2+ra_1\\ b_3=a_3+ra_2\\ \vdots\\ b_n=a_n+ra_{n-1}\\ b_{n+1}=ra_n$

$a_x$	$a_0$	$a_1$	$a_2$	$a_3$	$a_4$	$a_5$	$a_6$	$\cdots$	$a_n$	$0$
$b_x$	$b_0$	$b_1$	$b_2$	$b_3$	$b_4$	$b_5$	$b_6$	$\cdots$	$b_n$	$b_{n+1}$
$b_x-a_x$	$0$	$ra_0$	$ra_1$	$ra_2$	$ra_3$	$ra_4$	$ra_5$	$\cdots$	$ra_{n-1}$	$ra_{n}$

例:

下列序列变号数为2

$a_0=1, a_1=2, a_2=-0.1,a_3=3$

令 $r=1$

$b_0=a_0=1$

$b_1=a_1+ra_0=2+1*1=3$

$b_2=a_2+1*a_1=-0.1+1*2=1.9$

$b_3=a_3+1*a_2=3+1*(-0.1)=2.9$

$b_4=ra_3=1*3=3$

b序列没有变号!

所以可以看到，因为 $r>0$

$b_x-a_x$

的序列和

$a_x$

序列是完全相同的，~~所以变号数也一定相同。~~

25:椭圆曲线是怎么一回事?

方程

$y^2=x^3+ax+b$

$x^2-2x+8=0$

绘制出来是这个样子，成为椭圆曲线。

26:

$Re(z_1\bar{z_2})\leqslant \left | z_1 \right |\left | z_2 \right |$

$\\z_1=a+bi\\ z_2=c+di$

那么:

$Re(z_1\bar{z_2})=Re((a+bi)(c-di))=ac+bd$

$\left | z_1 \right |\left | z_2 \right |=\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}$

那么:

$(ac+bd)^2=a^2c^2+b^2d^2+2acbd\leqslant a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

所以:

$Re(z_1\bar{z_2})\leqslant \left | z_1 \right |\left | z_2 \right |$

$\\{AD}^2+{CB}^2={(AB+BE)}^2+DE^2+{(AB-AF)}^2+CF^2=\\ AB^2+BE^2+2AB*BE+DE^2+AB^2+AF^2-2AB*AF+CF^2$

其中：

$AF+FB=FB+BE=CD$

所以

$AF=BE$

所以：

$\\{AD}^2+{CB}^2={(AB+BE)}^2+DE^2+{(AB-AF)}^2+CF^2=\\ AB^2+BE^2+2AB*BE+DE^2+AB^2+AF^2-2AB*AF+CF^2=AB^2+BD^2+AB^2+AC^2=2(AC^2+AB^2)$

化成复数形式:

28:复变函数极限的存在性问题

$f(z)=\frac{1}{2i}(\frac{z}{\bar{z}}-\frac{\bar{z}}{z})(z\neq0)$ ，证明 $f(z)$ 在原点无极限.

令变点

$z=r(cos(\theta)+isin(\theta))$

$\\f(z)=\frac{1}{2i}(\frac{z}{\bar{z}}-\frac{\bar{z}}{z})=\frac{1}{2i}\frac{(z^2-\bar{z}^2)}{z\bar{z}}=\frac{1}{2i}\frac{(z+\bar{z})(z-\bar{z})}{r^2}=\\ \frac{1}{2ir^2}*2rcos(\theta)*2risin(\theta)=sin(2\theta)$

转换为二元函数的形式为:

$f(x,y)=2sin(\theta)cos(\theta)=2\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{2xy}{x^2+y^2}$

当变点z沿着复平面正实轴 $\theta=0$ 靠近０时， $f(z)\rightarrow 0$ ,但是当z沿着第一像限的角平分线 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 趋于０时， $f(z)\rightarrow 1$

所以,f(z)在原点无确定极限，和靠近路径有关．

在一元函数中，只有一个自由变量，自由变量的变化趋势只有沿着x轴向左或者向右两种方式接近指定值，所有接近路径都在一条直线上，也就是一维的．

但是复变函数则不同，复变函数等价于其实部和虚部的两个二元函数，接近路径是二维的面，所以复变函数的极限要求更为严格，必须临域的二维区域上所有的接近路径都有相同的极限，原函数才有极限，

用geogebra绘制出f(z)的图像如下图所示,明显可以看到，沿着不同的复平面路径接近原点，极限值是不同的．

这类图像有一个特点，就像一座布满悬崖峭壁和尖锐角石的山脉，沿着不同的路径登山，有可能带你到一个个同一经纬度上的不等高的地点．

$\left |f(x,y) \right |=4\left |\frac{2xy}{x^2+y^2} \right |$ 的图像是如下图，和上面的形式是一样的。

这种沿着不同的方向趋近某个点会有不同的极限的函数有很多，例如下面的函数
$f(x,y)=8\frac{xy^3}{x^2+y^6}$

沿着

$y=x$

$x=y^3$

he 两条路径趋近原点，极限分别为0和4

$f(x,y)=\left |8\frac{xy^3}{x^2+y^6} \right |$

29：octave绘制三维立体函数：

tx = ty = linspace (-8, 8, 41)';
[xx, yy] = meshgrid (tx, ty);
r = sqrt (xx .^ 2 + yy .^ 2) + eps;
tz = sin (r) ./ r;
mesh (tx, ty, tz);

30：如果

$\left | f(z)-f(z_0) \right |<\frac{f(z_0)}{2}$

那么：

$\left|f(z) \right |>\left | \frac{f(z_0)}{2}\right|$

的几何证明

31:数学公理化遇到的几次危机，和数学危机不是一回事：

第一次：存在不可测度量,发现. $\sqrt{2}$

第二次: 微积分，极限，无穷量

第三次：非欧几何

第四次：四元数

32:马鞍面是一种直纹面

单叶双曲小蛮腰:).

33:经典分型图案-科赫雪花，无限有界的经典范例

下面分别是1到5阶的科赫雪花图形:

周长无界性:假设一阶正三角形周长为 $l$ ,由于每次增大一阶，每个边长增加1/3,总周长变为4/3倍，则n阶科赫雪花的周长是

${(\frac{4}{3})}^nl$

当 $n->$ 无穷大时候，显然发散到无穷。

面积有界性:很显然，它的面积不会大于顶点构成的圆面积。

当n趋于无穷大的时候，科赫雪花最终成为一个处处连续，但是不可微，不可导的曲线，和上面的威尔斯塔拉函数有相似之处。

想象一下有这么一个东西放在你的手中是什么感觉，应该是处处扎手，最终你的手掌没有一块皮肤是完好的，尖点构成了面，微观和宏观就这样联系在了一起。

无限的周长竟然包括有限的面积，拓展到三维领域，也就是无穷大的面积下包括着有限的体积．想想就让人崩溃，当初的数学家得多难过:).　

人们一般认为数学家都会喜欢在一个坚实严密的基础上建立自身体系，但是数学家们也是人，一些基本概念，比如无理数，连续性，积分，导数的精确定义并非是所有的数学家都乐于接受的，许多人并不理解新的技术语言。所以他们对没有导数的连续函数和其它逻辑上正确但非直觉的创造倍感惊讶。

从这个问题联想到地理地图，任何具备海岸线的国家，在不限制衡量尺度的情况下，它的海岸线长度都是无穷大的，因为任何一部分放大去看，都有精细的微观结构，都不是直线。所以，以后地理书上说某个国家的海岸线有多长，是不是先加个限制条件，指出度量精度有多少？　:).

34:复变函数 $f(z)=\bar{z}$ 的可导性

对于复平面上一点 $z_0$ ,有:

$\\\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0 \ \Delta y\rightarrow 0}\frac{(x_0+\Delta x) -(y_0+\Delta y)i -x_0 + y_0i}{\Delta x + \Delta y i}=\\ \lim_{\Delta x\rightarrow 0 \ \Delta y\rightarrow 0}\frac{\Delta x - \Delta y i}{\Delta x + \Delta y i} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0 \ \Delta y\rightarrow 0}(\frac{\Delta x^2 - \Delta y^2}{\Delta x^2 + \Delta y^2}-\frac{2\Delta x \Delta y}{\Delta x^2 + \Delta y^2}i)$

当 $z_0=0$ 时刻，实部图像为：

虚部图像为：

从图像中看出，实部和虚部图像是全等的，只是相差了 $\pi/4$ 的相位

还可以看出，实部和虚部都非解析的，他们在０点处没有极限．

比如对于实部来说，当沿着虚周和实轴分别接近远点时刻，极限是不同的：

分别是－１和＋１

虚部再两种情况下的极限是0

所以总结来讲，沿着路径１的极限是－１，沿着路径２的极限是１，所以再原点不存在极限．

同理，沿着下面的路径时:

上图中的的实部为０，　虚部为＋１和－１

得到极限为 $\pm i$

所以路径3和路径４也有不同的极限．

所以，原函数没有极限．

32. $f(z)=\left | z \right|^2$ 除 $z=0$ 外在复平面上其它的点都不可导

$f(z)=\left | z\right |^2=z\bar{z}=x^2+y^2$

$\\\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\frac{x^2+y^2-x_0^2-y_0^2}{x+yi-x_0-y_0i}=\\ \frac{x^2-x_0^2+y^2-y_0^2}{x-x_0+yi-y_0i}=\frac{(x^2-x_0^2)+(y^2-y_0^2)}{(x-x_0)+(y-y_0)i}=\frac{(x^2-x_0^2+y^2-y_0^2)((x-x_0)-(y-y_0))i}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=\\ \frac{(x^2-x_0^2+y^2-y_0^2)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}((x-x_0)-(y-y_0))i$

所以：

$\\\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{(x^2-x_0^2+y^2-y_0^2)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}((x-x_0)-(y-y_0))i$

$z\rightarrow z_0$ 的两种情况：

$\\\lim_{x\rightarrow x_0\ y=y_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{(x^2-x_0^2+y^2-y_0^2)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}((x-x_0)-(y-y_0))i=2x_0$

$\\\lim_{y\rightarrow y_0\ x=x_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{(x^2-x_0^2+y^2-y_0^2)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}((x-x_0)-(y-y_0))i=\\ -2y_0i$

显然，只有z=0的时候，两个极限才相同，可导性才成立.

QED!

33:看线性变换如果作用于一幅图像

注意看烟斗炳上的向量 $v'$ 随着变换矩阵不断变化的轨迹，可以看到它图像的柄口和向量 $v'$ 同步变化。

上面变化可以对应到G2D加速中的shear(剪切）变换，其本质就是对图片中的每个像素点的坐标进行一次shear线性变换操作，而像素点不变。

还有一点，注意到特征值大的变化(eigenvalues)，由于

$\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=\left |A \right|$

其中A是变换矩阵， $\left|A\right|$ 反应的是线性变换后单位区域对应的面积变化，所以图中的特征值乘积对应了图片倍放大或者缩小的倍数！

34:海伦公式及其证明:

$BD=x$

则

$\\AD=c-x\\$

$\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{b^2-(c-x)^2}=>x=\frac{a^2-b^2+c^2}{2c}$

则

$h=\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a^2-b^2+c^2}{2c})^2}$

于是

$\\S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}c\sqrt{a^2-(\frac{a^2-b^2+c^2}{2c})^2}=\sqrt{\frac{c^2}{4}(a+\frac{a^2-b^2+c^2}{2c})(a-\frac{a^2-b^2+c^2}{2c})}\\ =\sqrt{\frac{c^2}{4}(\frac{2ac}{2c}+\frac{a^2-b^2+c^2}{2c})(\frac{2ac}{2c}-\frac{a^2-b^2+c^2}{2c})}=\sqrt{\frac{c^2}{4}(\frac{(a^2+2ac+c^2)-b^2}{2c})(\frac{b^2-(a^2-2ac+c^2)}{2c})}\\=\sqrt{\frac{c^2}{4}(\frac{(a+c)^2-b^2}{2c})(\frac{b^2-(a-c)^2}{2c})}= \sqrt{\frac{c^2}{4}(\frac{(a+c+b)(a+c-b)}{2c})(\frac{(b-a+c)(b+a-c)}{2c})}\\= \sqrt{\frac{1}{4}(\frac{(a+c+b)(a+c-b)}{2})(\frac{(b-a+c)(b+a-c)}{2})}=\sqrt{\frac{(a+b+c)}{2}\frac{(a-b+c)}{2}\frac{(-a+b+c)}{2}\frac{(a+b-c)}{2}}\\=\sqrt{\frac{(a+b+c)}{2} \cdot \frac{(a+b+c)-2b}{2}\cdot\frac{(a+b+c)-2a}{2}\cdot\frac{(a+b+c)-2c}{2}}\\=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \quad (s=\frac{a+b+c}{2})$

QED!

35: $a$ 是任意实数

$a^i= e^{ln{a^i}} = e^{ilna} = cos(lna)+i\cdot sin(lna)$

所以

$e^i= cos(ln(e))+i\cdot sin(ln(e)) = cos (1) + i\cdot sin(1)$

36:

之所以最终收敛到v向量，是由于M矩阵有两个特殊的特征值,分别是

$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 0.5$ .

对应特征向量

$\vec{u_1} = \begin{bmatrix} -0.55470\\ -0.83205 \end{bmatrix} \qquad \vec{u_2} = \begin{bmatrix} -0.70711\\ 0.70711 \end{bmatrix}$

而

$\begin{bmatrix} 8000\\ 2000 \end{bmatrix} = -5656.9 \cdot \begin{bmatrix}-0.70711\\ 0.70711 \end{bmatrix} + (-7211.1 )\cdot \begin{bmatrix}-0.55470\\ -0.83205 \end{bmatrix}$

随着次数逐渐升高， $\lambda_2$ 对应项逐渐收敛为０，只剩下 $\lambda_1$ 为稳态向量，　也就是

$(-7211.1 )\cdot \begin{bmatrix}-0.55470\\ -0.83205 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4000.0\\ 6000.0 \end{bmatrix}$

37:分部积分法推导:

$(uv)' = u'v + uv'$

所以:

$u'v=(uv)'-uv'$

两边求积分得:

$\int u'vdx = \int (uv)'dx - \int uv'dx=uv-\int uv'dx$

38：映射也叫做算子，现代数学的基础是集合论，根据集合X,Y的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称，例如，从非空集X到数集Y的映射又称为X上的泛函，从非空集X到它自身的映射又称为X上的变换，从实数集X到实数集Y的映射称为函数。

39:设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[ -l, l]$ ,证明必存在 $[ -l, l]$ 上的偶函数 $g(x)$ 以及奇函数 $h(x)$ ，使得:

$f(x)=g(x)+h(x)$

证明过程:

$f(x)=g(x)+h(x), g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x)$ ,

$f(-x)=g(-x)+h(-x) = g(x)-h(x)$

所以：

$\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} g(x)\\ h(x) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f(x)\\ f(-x) \end{bmatrix}$

$Det\bigg (\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}\bigg)=-2$

所以可逆

$\begin{bmatrix} g(x)\\ h(x) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} f(x)\\ f(-x) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} f(x)\\ f(-x) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{f(x)+f(-x)}{2}\\ \frac{f(x)-f(-x)}{2} \end{bmatrix}$

运行线性代数的方式求解，把求解过程看成寻找线性变换的过程。

39:泰勒公式

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Mon Feb  1 13:57:21 2021
@author: czl
"""
from pylab import *
import math
x = mgrid[-6:6:0.01]
 
def taile():
    s=exp(5)
    for n in range(1,100,1):
        jiecheng=math.factorial(n)
        s0 = (exp(5)/jiecheng)*((x-5)**n)
        s=s+s0
    plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)
    title('fourier_transform')
    show()    
 
taile()

40:关于积分类型

41:关于 $\delta$ 函数的定义：

$\delta = \left\{\begin{matrix} 0, t\neq 0\\ \infty, t = 0 \end{matrix}\right.$

$\int^{\infty}_{-\infty}\delta(t)dt=1$

$\delta$ 函数已经不在是工科数学分析所论述的函数，因为在公科数学分析中，所谓无穷大不存在，对于黎曼可积的函数，改变其有限个点处的函数值不会影响该函数积分值，按照这个原则，上面的积分应该等于０，这显然与 $\delta$ 函数的定义矛盾，这些说明， $\delta$ 函数不能按照＂逐点对应＂的普通函数来理解．

41:

$\oint_C\frac{1}{z}dz=2\pi i$

的几何解释：

这个积分也可以根据留数定理直接求得．

42:

$f(x)=x^2+x+2$

$x=\frac{-1\pm\sqrt{1-8}}{2}$

或者

$x=a+ib, a,b\in R$

$a^2-b^2+2abi+a+bi+2 =0$

$\left\{\begin{matrix} a^2-b^2+a+2=0\\ 2ab+b=0 \end{matrix}\right.=>a=-\frac{1}{2}, b^2=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+2$

43: $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2n+1}>\frac{1}{4} + \frac{1}{6}+\cdots + \frac{1}{2n+2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n+1}) = \infty$

所以，级数发散。

43:求导法则推到：

$\bigg[u(x)\pm v(x)\bigg]'=u'(x)\pm v'(x)$

$\\ \bigg[u(x)\pm v(x)\bigg]'=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\bigg[u(x+\Delta x)\pm v(x+\Delta x)\bigg]-\bigg[u(x)\pm v(x)\bigg]}{\Delta x}\\=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\pm \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}=u'(x)+v'(x)$

$\bigg[u(x) v(x)\bigg]'=u'(x)v(x)+ u(x)v'(x)$

$\\ \bigg[u(x) v(x)\bigg]'=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x) v(x+\Delta x)-u(x) v(x)}{\Delta x}\\=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x) v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x) v(x)}{\Delta x}\\=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\bigg[\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}v(x+\Delta x)+u(x)\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\bigg]\\=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

$\\ \bigg[\frac{u(x)}{v(x)}\bigg]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}\ (v(x)\neq 0)$

$\\ \bigg[\frac{u(x)}{v(x)}\bigg]'=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)v(x)\Delta x}\\=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\bigg[u(x+\Delta x)-u(x)\bigg]v(x)-u(x)\bigg[v(x+\Delta x)-v(x)\bigg]}{v(x+\Delta x)v(x)\Delta x}\\=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac{\bigg[u(x+\Delta x)-u(x)\bigg]}{\Delta x}v(x)-u(x)\frac{\bigg[v(x+\Delta x)-v(x)\bigg]}{\Delta x}}{v(x+\Delta x)v(x)}\\= \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2{x}}$

44:微分学证明 $sin'(x)=cos(x)$

由于是单位圆，所以:

$sin(x)=CD$

$sin(x+\Delta x)=EF$

$\Delta x=\widehat{EC}$

所以:

$sin'(x)=\frac{sin(x+\Delta x)-sin(x)}{\Delta x}= \frac{EF-CD}{\widehat{EC}}=\frac{EG}{\widehat{EC}}$

因为：

$\angle CEG=\angle CEO- \angle FEO=\frac{\pi - \Delta x}{2}-\bigg[\frac{\pi}{2}-(x+\Delta x)\bigg]=x+\frac{\Delta x}{2}$

当 $\Delta x$ 非常小的时候,

$\angle CEG=x+\frac{\Delta x}{2}\approx x$

$\widehat{EC}\approx EC$

所以：

$\\\mathbf{sin'(x)=\frac{sin(x+\Delta x)-sin(x)}{\Delta x}= \frac{EF-CD}{\widehat{EC}}=\frac{EG}{\widehat{EC}}\approx\frac{EG}{EC}=cos(\angle CEG)=cos(x)}$

得证.

下图虚线构成的两个三角形相似，可以直接用几何方式得出

$\angle CEG=x+\frac{\Delta x}{2}$

45:如果 $f=u+iv$ 是解析的，则 $\bigtriangledown u \cdot \bigtriangledown v = 0$ , $\bigtriangledown$ 是梯度算子，解释其几何意义

$\\ \bigtriangledown u=\frac{\partial u}{\partial x}i + \frac{\partial u}{\partial y}j\\ \\\bigtriangledown v=\frac{\partial v}{\partial x}i + \frac{\partial v}{\partial y}j$

$\\ \bigtriangledown u \cdot \bigtriangledown v=(\frac{\partial u}{\partial x}i + \frac{\partial u}{\partial y}j)\cdot(\frac{\partial v}{\partial x}i + \frac{\partial v}{\partial y}j) \\=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}i\cdot i+\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y}i\cdot j + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial x}j \cdot i+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}j\cdot j\\=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}i\cdot i+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}j\cdot j =\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}$

根据C-R方程：

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$

这里的乘法是内积而非普通乘法，所以，几何意义当然是，两个梯度向量互相垂直了．

三角与内积的关系：

46：参考生物学分类法

游戏中的算法与数学

结束！

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